Функции и последовательности

Определение.
Пусть каждому вещественному числу x из некоторого числового множества D поставлено в соответствие однозначно определенное вещественное число y. Тогда говорят, что на множестве D задана функция f, такая, что f (x) = y.

Множество D называется областью определения функции f, число x — ее аргументом, а число y — значением функции f в точке x.

Множество
E = {y ∈ R: y = f (x), x∈D} называется областью значений функции f.

Графиком функции f называется множество точек плоскости Oxy с координатами ( x, f (x) ), x ∈ D.

Способы задания функций:

Способы задания функций:
аналитический

Способы задания функций:
аналитический:
а) с помощью одной формулы, например, f (x) = 3x + 7;

Способы задания функций:
графический;

Способы задания функций:
графический;
табличный, в виде

Способы задания функций:
графический;
табличный, в виде
словесный – функция описывается правилом ее составления.

Основные свойства функций:

Основные свойства функций:
Четность и нечетность
Функция y = f(x) – четная, если для любого x ∈ X выполняется условие f(-x) = f(x).

Основные свойства функций:
Четность и нечетность
Функция y = f(x) – нечетная, если для любого x ∈ X выполняется условие f(-x) = - f(x).

В противном случае, функция называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной – относительно начала координат.

Основные свойства функций:
Монотонность
Функция f(x) называется возрастающей на промежутке [a; b], если для любых x1, x2 из этого промежутка, таких что x1 < x2 справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2). Если f(x1) < f(x2), то функция f(x) строго возрастает.

Основные свойства функций:
Монотонность
Функция f(x) называется убывающей на промежутке [a; b], если для любых x1, x2 из этого промежутка, таких что x1 < x2 справедливо неравенство f(x1) ≥ f(x2).
Если f(x1) > f(x2), то функция f(x) строго убывает.

Основные свойства функций:
Монотонность
Функции, возрастающие или убывающие называются монотонными.

Основные свойства функций:
Ограниченность
Функция f(x) называется ограниченной сверху на промежутке [a; b], если существует такое число M, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f(x) ≤ M.

Основные свойства функций:
Ограниченность
Функция f(x) называется ограниченной снизу на промежутке [a; b], если существует такое число m, что для любого числа x из этого промежутка справедливо неравенство f(x) ≥ m.

Основные свойства функций:
Ограниченность
Функция, ограниченная на [a, b] и сверху, и снизу, называется ограниченной на [a, b].

Основные свойства функций:
Ограниченность
Определение ограниченности функции может быть также записано в следующем виде:
Функция называется ограниченной на промежутке [a, b], если существует число K (K > 0), такое что | f(x)| ≤ K для любого x из [a, b].

Основные свойства функций:
Периодичность
Функция y = f(x), называется периодичной с периодом T ≠ 0, если для любого x ∈ X выполняется условие f(x + T) = f(x).

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции:
- степенная y = xn;
n – четное
n – нечетное

n – четное
n – нечетное

- степенная ;
n – четное
n – нечетное

- показательная ;
при > 1
при 0 < < 1
y
0
x
y
0
x

- логарифмическая ;
при > 1
при 0 < < 1
y
0
x
y
0
x

тригонометрические;

обратные тригонометрические функции.

Функции, полученные из основных элементарных функций с помощью арифметических действий и суперпозиции, называются элементарными.

§2. Последовательности

Определение.
Если каждому числу n ϵ N поставлено в соответствие вещественное число хn, то образовавшееся таким образом множество чисел х1, х2, …, хn, … называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа хi называются элементами или членами последовательности, i – номер элемента, хn – общим членом последовательности.
Сокращенно последовательность обозначают {хn }.

Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой общего члена хn = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n.
Другой способ задания – рекуррентный.

Примеры числовых последовательностей
1, 2, 3, 4, 5, … – ряд натуральных чисел;
2, 4, 6, 8, 10, … – ряд чётных чисел;
1, 4, 9, 16, 25, … – ряд квадратов натуральных чисел;
5, 10, 15, 20, … – ряд натуральных чисел, кратных 5;
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,... – ряд вида 1/n, где n ϵ N.

Последовательность можно рассматривать как функцию с областью определения – множеством натуральных чисел.
Следовательно, последовательность может обладать свойствами функции.

Последовательность {хn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа M.

Последовательность {хn} называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа M.
Пример:
-1, -4, -9, -16, …, -п2, … - ограничена сверху 0.
Число М называют верхней границей последовательности.

Последовательность {хn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа m.

Последовательность {хn} называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа m.
Пример:
1, 4, 9, 16, …, п2, … - ограничена снизу 1.
Число m называют нижней границей последовательности.

Если последовательность ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной последовательностью.

Последовательность {хn} называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего.
Пример:
1, 3, 5, 7, 9, 2п – 1, … - возрастающая последовательность.