Тела вращения

Цилиндр
Конус
Шар и сфера
Тела вращения
Содержание
Левый клик по названию раздела

Тело вращение – это пространственная фигура полученная вращением плоской ограниченной области вместе со своей границей вокруг оси, лежащей в той же плоскости.
Определение тела вращения

Задание
1) Приведите примеры из окружающего мира тел, похожих на тело полученное вращением треугольника вокруг оси, содержащей его сторону:

Задание
Из каких геометрических тел состоит тело, полученное вращением трапеции вокруг оси, содержащей большее основание трапеции.
Конусы
Цилиндр

Задание
Нарисуйте тело, полученное вращением изображенных на рисунках плоских фигур.
Проверка

Задание
Нарисуйте тело, полученное вращением изображенных на рисунках плоских фигур.

Задание
Нарисуйте плоскую фигуру, вращая которую можно получить изображенное тело.
А)
Б)
В)
Г)
Д)

Цилиндр
Зададим две параллельные плоскости α и β. В плоскости α расположим окружность некоторого радиуса. Если из каждой точки окружности провести взаимно параллельные прямые пресекающие плоскость β, то в плоскости β получится окружность такого же радиуса. Отрезки прямых, заключенных между параллельными плоскостями образуют в этом случае цилиндрическую поверхность.
Цилиндр – это тело, заключенное между двумя кругами расположенными в параллельных плоскостях и цилиндрической поверхностью.
α
β

Цилиндр
Цилиндр – это тело, которое описывает прямоугольник при вращении около оси, содержащей его сторону.
Верхний и нижний круги – это основания цилиндра.
Прямая проходящая через центры кругов – это ось цилиндра.
Отрезок параллельный оси цилиндра, концы которого лежат на окружностях основания – это образующая цилиндра.
Радиус основания - это радиус цилиндра.
Высота цилиндра - это перпендикуляр между основаниями цилиндра.

Виды цилиндров
Прямой круговой
Прямой некруговой
Наклонный круговой
Замечание: В школьном курсе геометрии по умолчанию рассматривается прямой круговой цилиндр
парабола

Сечения цилиндра
Осевое сечение: Плоскость сечения содержит ось цилиндра и перпендикулярна основаниям. В сечении –
Замечание: Секущая плоскость может располагаться по-разному, рассмотрим некоторые виды сечений
Сечение плоскостью параллельной оси цилиндра
Плоскость сечения параллельна оси цилиндра и перпендикулярна основаниям. В сечении –
Сечение плоскостью параллельной основанию цилиндра
Плоскость сечения параллельна основаниям цилиндра и перпендикулярна оси. В сечении –
прямоугольник.
прямоугольник.
круг.

Площадь поверхности цилиндра
Для вывода формулы площади полной поверхности цилиндра потребуется развертка цилиндра.
Sполн = 2πR(R + h)
прямоугольник.
Боковая поверхность цилиндра есть …
Полная поверхность состоит из 2 оснований и боковой поверхности.
Площадь основания находим как площадь круга
S = πR2
R – радиус основания цилиндра
Одна сторона прямоугольника – это высота цилиндра (h), другая – длина окружности основания (2πR). Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению сторон прямоугольника.
Получаем, Sполн = Sбок + 2Sосн = 2πRh + 2πR2
2πR
R
h
R

Решение устных задач с цилиндром
1)Во сколько раз увеличится боковая поверхность цилиндра, если его высота увеличится в 5 раз, а радиус основания останется прежним?
Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 5 раз.
Sбок =2πRh
R
5h
R
h
Sбок =2πR5h = 10πRh
2) Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания увеличится в 2 раза, а высота останется прежней?
R
h
2R
h
Sбок =2πRh
Sбок =2π2Rh = 4πRh
Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 2 раза.

Решение устных задач с цилиндром
3) Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров?
Ответ: нет
Sсеч =2R·h
h
4) Стороны прямоугольника равны 4 см и 5 см. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг меньшей стороны.
5 см
R=5 см, h=4см
Sполн =2πR(h +R)= 2π· 5 ·(4 + 5) =90π
Ответ: площадь полной поверхности равна 90 π см2
h
2R
2R
Sсеч =h·2R
4 см

Решение задач с практическим содержанием
5) Найдите площадь листа жести, если из него изготовлена труба длиной 8 м и диаметром 32 см?
6) Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала)?
Ответ: 2,56π м2
8) Сколько 2-х килограммовых банок краски нужно купить для окрашивания полуцилиндрического свода подвала длиной 6 м и высотой 2,9 м. Расход краски 100 г на 1 м2.
Ответ: ≈1,4 ·10 Н
Ответ: 11000π м2
7) Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1 м, длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла.
Ответ: 3 банки

Решение задачи 5
d = 32 cм = 0,32 м; d = 2R
Sбок= πdh;
Sбок = π ·0,32·8 = 2,56 π
5) Найдите площадь листа жести, если из него изготовлена труба длиной 8 м и диаметром 32 см?
S - ?
8 м
32 см
Дано:
цилиндр,
h = 8 м, d = 32 см.
Найти: Sбок
Ответ: 2,56π м2

Решение задачи 6
Sматериала = n· Sбанки
1) Найдем количество материала на изготовление 1 банки:
d = 2R, R = 0,5d= 5см, Sполн= 2πR(R+h);
Sполн = π ·2·5 ·(5 + 5) = 100π (см2)
10% = 0,1; Sбанки= 100π + 0,1·100π = 110π (см2)
2) Sматериала = 1000000 ·110π = 11 ·107π (см2),
1м2 = 10000 см2; Sматериала = 11000 π (см2).
S, м2 - ?
5см
10 см
Дано:
цилиндр,
h = 5 см, d = 10 см,
n = 1 млн. штук
Найти: Sматериала
Ответ: 11000π м2 ≈ 34540 м2
6) Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5 см (на швы и отходы добавить 10% материала)?

Решение задачи 8
1) Вычислим площадь поверхности, которую нужно покрасить:
Sсвода = 0,5Sбок=0,5 ·2·2,9 ·6π = 17,4 π ≈17,4 ·3,14 = 54,636(м2)
2) На 1 м2 расходуется 100 г = 0,1 кг краски, значит на окраску свода потребуется 54,636 · 0,1 = 5,4636 (кг) краски,
т. к. банки по 2 кг, то 5,4636 : 2 ≈ 3 банки краски
6 м
2,9 м
Дано:
h = 6 м, R = 2,9 м,
mбанки= 2 кг, 100 г на 1 м2
Найти: n – количество банок
Ответ: 3 банки краски
8) Сколько 2-х килограммовых банок краски нужно купить для окрашивания полуцилиндрического свода подвала длиной 6 м и высотой 2,9 м. Расход краски 100 г на 1 м2.

Решение задачи 7
1) Вычислим площадь поверхности котла, который имеет цилиндрическую форму:
Sполн = 2πR(R+h)=2 · 0,5 ·π·(0,5 + 3,8) = 4,3π ≈13,502 (м2)
3,8 м
1 м
Дано:
h = 3,8 м, d= 1 м,
P = 10 атм
Найти: F
Ответ: ≈1,4 · 107 Н
7) Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1 м, длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла.
следовательно F= P·S, где F – сила давления пара на стенки котла, P – это давление пара, S – площадь поверхности котла.
2) P = 10 атм = 1 МПа = 106 Па
F = 13,502 · 106 ≈ 1,4·107 Н

Конус
Зададим плоскость α и точку С вне этой плоскости. В плоскости α расположим окружность некоторого радиуса. Проведем прямые проходящие через точку С и все точки окружности. Поверхность, образованная отрезками с концами на окружности и в точке С образуют коническую поверхность.
Конус – это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом, включая окружность.
α
С

Конус – это тело, которое описывает прямоугольный треугольник при вращении вокруг оси, содержащей его катет.
Круг – это основание конуса.
Прямая проходящая через центр круга и вершину конуса – есть ось конуса.
Отрезок соединяющий вершину с любой точкой окружности основания – это образующая конуса.
Радиус основания - это радиус конуса.
Высота конуса - это перпендикуляр, опущенный из вершины конуса к основанию.
Конус
Точка вне круга с которой соединяются все точки окружности – это вершина конуса.
Замечание: так как ось перпендикулярна основанию и проходит через вершину, то высота конуса лежит на его оси.

Конические сечения
1) Если плоскость пересекает все образующие конической поверхности, то в сечении получается эллипс.
2) Если плоскость сечения параллельна одной из образующих, то в сечении получается парабола.
3) Если плоскость сечения пересекает обе полости конической поверхности, то в сечении получается гипербола.

Сечения конуса
Осевое сечение. Плоскость сечения содержит ось конуса и перпендикулярна основанию.
В сечении –
Сечение плоскостью параллельной основанию конуса.
Плоскость сечения параллельна основанию конуса и перпендикулярна оси.
В сечении –
равнобедренный треугольник.
круг.

Площадь поверхности конуса
Для вывода формулы площади полной поверхности конуса потребуется его развертка.
Sполн = πR(l + R)
сектор.
Боковая поверхность конуса есть …
Полная поверхность состоит из основания и боковой поверхности.
Площадь основания находим как площадь круга
S = πR2
R – радиус основания цилиндра
Площадь боковой поверхности вычисляется как площадь сектора радиус которого равен длине образующей конуса (l), а дуга равна длине окружности основания (2πR).
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число π.
Получаем, Sполн = Sбок + Sосн = πRl + πR2
l
l
R
2πR
R
Подробнее о площади сектора

Площадь сектора
Вычисляя боковую поверхность конуса вписываем в данную формулу новые обозначения и выражаем α через радиус (R) и образующую (l). Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса 2πR , с другой стороны ее можно вычислить по формуле для длины дуги. Получаем равенство:
r = l
α
r – радиус круга,
α – величина дуги в градусах,
R – радиус основания конуса,
l – длина образующей конуса
Выразим α и подставим в формулу площади сектора круга.

Решение устных задач с конусом
1)Во сколько раз увеличится боковая поверхность конуса, если его образующая увеличится вдвое, а радиус основания одновременно увеличится в 3 раза?
Ответ: площадь боковой поверхности увеличится в 6 раз.
Sбок =πRl
R
l
Sбок = π 3R2l = 6πRl
2) Вычислите площадь боковой и полной поверхностей конуса, длина образующей которого равна 10 см, а радиус основания 3 см.
Sосн =πR2 = π · 32 = 9π (см2)
Sполн = 39π (см2)
Ответ: 30π см2, 39π см2
3R
2l
Sбок = π 3·10 = 30π (см2)
3
10

Решение задач
3) Коническая крыша башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м x 1,4 м, а на швы и обрезки тратится 10% от площади крыши.
1) Вычислим площадь листа кровельного железа
0,7 · 1,4 = 0,98 м2
4) Sбок = π Rl = π ·3 · √13 = 3√13π (м2)
Sматериала = 3√13π + 0,1 · 3√13π = 3,3√13π (м2)
Sматериала ≈ 37,36 м2
Ответ: количество листов равно 39 штук.
3
l
2) вычислим радиус, конуса R = 0,5 d= 0,5 · 6 = 3 (м),
h– высота конуса, h = 2 м.
3) Образующую конуса найдем по теореме Пифагора
2
1,4 м
0,7 м
2 м
5) Вычислим количество листов кровельного железа
37, 36 : 0,98 = 38,12 ≈ 39

Решение задач
4) Сколько м2 ткани потребуется для пошива шатра цирка «Шапито», если диаметр шатра составляет 32 м, а высота 22 м, причем высота крыши равна 12 м? Добавить 5% ткани на швы и отходы.
Шатер представляет собой конус и цилиндр. Ткань нужна только для боковых поверхностей этих тел.
Sбок к = π Rl = π ·16 · 20 = 320π (м2)
Sполн = 480π + 0,05 · 480π = 504π (м2)
Ответ: 504π м2 ≈ 1582,56 м2 ткани
Sбок ц = 2πRh = 2 π ·16·10 = 160π (м2)
16
l
12м
22 -12 = 10 м
Сделаем предварительные расчеты
1) вычислим радиус, он одинаков для цилиндра и конуса R = 0,5 d= 0,5 · 32 = 16 (м),
2) H – высота конуса, h – высота цилиндра
H = 12 м, h = 10 м.
3) Образующую конуса найдем по теореме Пифагора:
12

Определение шара
Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от заданной точки точки.
Шар можно получить вращением полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр.
Эта точка называется центром шара.
Расстояние от центра шара до любой точки поверхности называется – радиусом шара
Сфера – это поверхность все точки которой равноудалены от заданной точки.

Сечения шара
Сечение шара, проходящее через его центр.
В сечении –
Сечение плоскостью, не проходящей через центр.
В сечении –
круг.
В этом случае в сечении получается круг наибольшего радиуса, его называют большой круг шара.
круг.
Теорема: Площадь поверхности шара равна четыре площади большого круга шара.
S = 4πR2

Взаимное расположение сферы и плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы
d < R
Плоскость пересекает сферу и называется секущей
z
y
x
R
r
r – радиус сечения сферы
Вычислить радиус сечения можно используя теорему Пифагора.
d

Взаимное расположение сферы и плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы
d = R
Плоскость имеет одну общую точку со сферой и называется касательной
z
y
x
Теорема: Радиус сферы проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
R

Взаимное расположение сферы и плоскости
d – расстояние от центра сферы до плоскости, R – радиус сферы
d > R
Плоскость не имеет общих точек со сферой.
z
y
x

Решение задач
1)Вычислить площадь поверхности шара изображенного на рисунке.
R = ОА,
Найдем ОА из ΔАСО.
S =4πR2
30°
6
О
С
А
Ответ: S = 192π ед2

О - центр Земли, А – точка орбиты в которой находится корабль, В и С – точки касания.
2) Наибольшая высота орбиты корабля «Восток-2», на котором летал космонавт Г.С. Титов, равна 244 км. Найдите угол, под которым космонавт видел Землю в момент наибольшего удаления от нее (радиус Земли примерно равен 6371 км).
Решение задач
Rз
О
А
В
С
⇒ ∠ВАО = 74°23`,
значит ∠ВАС = 148°46`≈149°.
∠ВАС - искомый угол.
Углы В и С прямые, теорема о радиусе проведенном в точку касания.
ΔАВО =ΔАСО, т.к. АО общая, АВ= АС как отрезки касательных ⇒ ∠ВАО = ∠САО.
ОА = 6371 + 244 = 6615 км, ОВ = 6371 км
Ответ: Космонавт видит Землю под углом ≈149°

1)Из справочник имеем длину дуги от экватора до полярного круга 66°.
Этой же мере соответствует центральный угол АОВ = 66°
3) Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км)
Решение задач
О
С
А
экватор
полярный круг
Северный полюс
В
66°
2)Дуга от Северного полюса до экватора равна 90°. Значит,
∠СОВ = 90°.
Тогда, ∠СОА = 90° - 66° = 24°.
3)Используя синус угла СОА в прямоугольном ΔАСО найдем СА:
CA= AO· sin(∠COA)= 6400 · sin 24° = 6400 · 0,4067= 2602,88 (км)
4) СА есть радиус окружности полярного круга, найдем длину этой окружности:
2π·CA =2· 3,14· 2602,88 = 16 346, 0864 км
Ответ: длина полярного круга ≈ 16 тыс. км

Географическая справка
Географические широты могут иметь значение от 0° до 90°. Географическая широта 90° находится у полюсов.
Под географической широтой понимают величину дуги от экватора к северу или к югу до заданной точки. Она тоже измеряется в градусах, так как широта точки есть угол между отвесной линией, проходящей через эту точку, и плоскостью экватора.
Северный полярный круг находится в 66°33′44″ (66,5622°) к северу от экватора.

Благодарю
Ранько Е. А. учителя начальных классов МАОУ лицей №21 г. Иваново
за предоставленный шаблон презентации http://pedsovet.su/
спасибо за внимание!

Литература
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
Бевз Г.П. и др. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1994.
Глейзер Г.Д. Геометрия: Учеб. пособие для 10-12 кл.веч. (смен.) шк. и самообразования. – М.: Просвещение, 1989.
Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия: Учеб. пособие для 9 и 10 классов. – М.: Просвещение, 1980.