Теорема Фалеса. (8 класс)

Теорема Фалеса
Геометрия 8 класс

Фалес Милетский
«Отец философии»
624 до н.э – 548 до н.э.

Считается, что именно Фалес «привез» геометрию из Египта и познакомил с ней греков. Его деятельность привлекла последователей и учеников, которые образовали милетскую школу. Считается, что с милетской школы начинается история европейской науки.

Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Есть одна точная дата, связанная с жизнью Фалеса, — 585 до н. э., когда в Милете было солнечное затмение, которое он предсказал.

Но одна из важнейших заслуг Фалеса в том, что ему приписываются многие геометрические теоремы
круг делится диаметром пополам;
в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
при пересечении двух прямых образуемые ими вертикальные углы равны;
два треугольника равны, если два угла и сторона одного из них равны двум углам и соответствующей стороне другого.

Задача.
А
В
С
D
Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что AN = NC.
Эта задача поможет нам доказать теорему Фалеса

Теорема: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
А1
А3
Дано: угол, параллельные прямые пересекают стороны угла, А1А2=А2А3
Доказать: В1В2=В2В3
Доказательство.
Проведём через т. В2 прямую ЕF // А1А3.
По свойству параллелограмма А1А2=FВ2, А2А3=В2Е.
Так как А1А2=А2А3, то FВ2=В2Е
Треуг. В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку ( у них В2F=В2Е по док-му. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы F =E как внутр. н. л. при А1В1 // А3В3 и секущей ЕF.)
Из равенства треугольников В1В2=В2В3.
А2
В1
В2
В3
F
E

Фалес Милетский
Древнегреческий ученый
(ок. 625 – 547 гг. до н. э.)
Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых
отложить последовательно
несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

l1
l
и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков

A
B
C
F
E
Дано: АС II EF Найти: PАВС
12
5
5
4
4

Задачи на готовых чертежах
A
B
C
E
F
4
5
12
EF║AC. Найти:РАВС
A
A1
A2
A3
A4
B1
B2
B3
B4
АВ4=20. Найти:В2В3.

ЗАДАЧА: РАЗДЕЛИТЕ ДАННЫЙ ОТРЕЗОК НА n РАВНЫХ ЧАСТЕЙ
А
В
1.Проведём из точки А луч АО, не лежащий на отрезке АВ.
2.Отложим на луче АО равные отрезки:АА1, А1А2, А2А3, …, Аn-1Аn.
3.Соединим отрезком точку Аn с точкой В.
4.Через точки А1,А2, … Аn-1проведём прямые, параллельные АnВ.
5.По теореме Фалеса отрезки АВ1, В1В2, …,Вn-1В равны.
А1
А3
Аn-1
Аn
В1
В2
В3
Вn-1
А2
О

Средняя линия треугольника
Тема урока:

С
В
А
М
N
МN – средняя линия треугольника АВС.
Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
AM = MB
BN = NC

На каком рисунке изображена средняя линия треугольника ?
а)
г)
б)
в)
Устно:
г

Сколько средних линий имеет треугольник?
Задание.
Постройте произвольный треугольник и проведите в нем средние линии.
DF, DE, EF –средние линии ∆ АВС

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
С
В
А
М
N
2.

Доказательство.

1. Сколько треугольников вы видите?
2. Есть ли равные треугольники? Почему?
Устно:
3. Сколько параллелограммов на рисунке?
∆ADF, ∆ DBE, ∆ ECF, ∆ DEF, ∆ ABC
∆ADF= ∆ DBE= ∆ ECF= ∆ DEF
ADEF, DBEF, ECFD

Являются ли отрезки EF и CD средними линиями ∆ АВС и ∆MNK?
EF является
CD не является

Отрезок MN является средней линией треугольника …
в)

Решить задачу устно:
A
B
C
K
M
12 см
Дано:
MК – сред. линия
АС=12
Найти: MК
?

Решим задачу :
Дано:
MN – сред. линия
Найти: P∆АВС
M
N
A
B
C
3
4
3,5

задача
Дано: AC║EF; EB=АЕ =4; EF =12; FC =5
Найти: PABC
А
В
С
E
F

Задача 1 ( из ОГЭ)
Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 8 см. Найти периметр этого треугольника.
А
В
С
Р ∆ АВС = 48 см

2 урок

A
B
C
M
Дано: S∆ABC = 40 см²
Найти: SΔMNK
K
N
Задача 2
SΔ MNK =10 см²

А
В
С
D
М
N
P
Q
MNPQ –параллелограмм?

A
B
C
M
K
N
Какую часть от площади ∆АВС составляет площадь каждого из треугольников?
Какую часть от периметра ∆АВС составляет периметр каждого из треугольников?

Задача
3,5
A
B
C
N
M
3
4
Дано: MN || AC.
Найти: Р∆АВС

Какие новые знания получены на уроке?
Что называют средней линией треугольника?
Сформулируйте теорему о средней линии треугольника.
Подведем итог

Решим задачу
Дано: СD║BE║MK; AD =16; CD =10;MB=4
Найти: PAMK
А
B
C
D
E
K
M

Моё настроение
Отличное!
Все понятно!
Непонятное!
Есть над чем подумать…