Теория вероятностей

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых случайных событий
Событие –это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет (обозначаются A,
Испытание – совокупность условий, при котором может произойти данной случайное событие

СОБЫТИЯ
ДОСТОВЕРНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ
Происходят при каждом проведении опыта (Солнце всходит в определенное время, тело падает вниз, вода закипает при нагревании и т.п.).
Происходят в определенных условиях, но при каждом проведении опыта: одни происходят чаще, другие реже (бутерброд чаще падает маслом вниз и т.п.).
НЕВОЗМОЖНЫЕ

СОБЫТИЯ
Совместные
Несовместные
Если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление (при игре в карты появление короля и масти пик).
Если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого (выпадание орла и решки).

События образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.
События, входящие в полную группу,, называются исходами или элементарными событиями.
2
6
N

Два несовместных события называются противоположными, если в результате испытания одной из них должно обязательно произойти
(обозначается А и А)
Пример: выпадение орла и решки – противоположные события
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В .
Пример: при бросании игрального кубика появлению нечетного числа благоприятсвуют события, связанные с впадением чисел 1, 3 и 5

В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой:
«Вероятность – возможность исполнения, осуществимости чего-нибудь».
Основатель современной теории вероятностей А.Н.Колмогоров:
«Вероятность математическая – это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

КЛАССИЧЕСКОЕ
СТАТИСТИЧЕСКОЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

ВЕРОЯТНОСТЬ
– ЭТО ЧИСЛЕННАЯ МЕРА ОБЪЕКТИВНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЕТ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ:
А – некоторое событие,
m – количество исходов, при которых событие А появляется,
n – конечное число всех исходов.
P – обозначение происходит от первой буквы французского слова probabilite – вероятность.

Пьер-Симо́н Лапла́с
Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа.

Бросаем монетку
2
Выпал «орел»
1
Вытягиваем экзаменаци- онный билет
Вытянули билет №5
24
1
Бросаем кубик
На кубике выпало четное число
6
3
Играем в лотерею
Выиграли, купив один билет
250
10

ПРИМЕР 1
В школе 1300 человек, из них 5 человек хулиганы.
Какова вероятность того, что один из них попадётся директору на глаза?
Вероятность:
P(A) = 5/1300 = 1/260.

Составим следующую таблицу
Вероятность: P(A)=6/36= 1/6≈0,17
При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа?
ПРИМЕР 2.

Вероятность достоверного события равна
P(А) = 1
Вероятность невозможного события равна
P(А) = 0
Вероятность события А не меньше , но не больше
1
0
1
0
Свойства вероятности
0 ≤ P(A) ≤ 1.

Задача 1.
В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется:
а) белой;
б) желтой;
в) не желтой.
Решение
а) Мы имеем всевозможных случаев 9.
Благоприятствующих событий 3.
Вероятность равна: P=3:9=1/3=0,33(3)
б) Мы имеем всевозможных случаев 9.
Благоприятствующих событий 2.
Вероятность равна P=2:9=0,2(2)
в) Мы имеем всевозможных случаев 9.
Благоприятствующих событий 7 (4+3).
Вероятность равна P=7:9=0,7(7)

На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?
Решение.
Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:
Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:
Задача 2.
О
Т
К
Р

Суммой событий А и В называют событие, которое наступает в том случае, когда происходит или событие А или событие В. (Обозначение А+В)
Произведением событий А и В называют событие, которое наступает в том случае, когда одновременно происходит и событие А и событие В Обозначение А·В
Появление дамы пик- это произведение двух событий: появление масти Пики и появление дамы
Появление цветного шара из коробки, где лежат зеленые, красные и белые шары – это сумма событий: появление зеленого или появление красного шаров.

Теорема 1.
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность произведения этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Следствие 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Следствие 2. Сумма вероятности события и вероятности противоположного ему события равна 1.
P(А)+Р(A)=1
Теорема 2.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(А·В)=Р(А)·Р(В)

Найти вероятность выпадения 2 или 3 при бросании игральной кости.
Событие А – выпадение цифры 2, вероятность этого события Р(А)=
Событие В – выпадение цифры 3, вероятность этого события Р(В)= .
События несовместные, поэтому
Р(А+В)=
Задача 3.