Теорія ймовірностей, ймовірнісні процеси і математична статистика

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

СОБЫТИЕ – ЛЮБОЙ ИСХОД ОПЫТА ЛИБО ИСПЫТАНИЯ

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию результатов испытания, к общему числу n всех несовместимых, единственно возможных и равновозможных элементарных исходов испытания.

Вероятность противоположного события A равна

Перестановками из n элементов называются какие – либо комбинации, каждая из которых содержит все n элементов и отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.
Число перестановок без повторений равно

Если комбинации из n по m элементов отличаются или составом элементов, либо порядком их расположения (или тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из n по m элементов.
Число размещений из n по m элементов равно

Если комбинации из n по m элементов отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из n по m элементов.
Число сочетаний из n по m элементов равно

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области g, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области G.

ДІЇ НАД ВИПАДКОВИМИ ПОДІЯМИ

Суммой A+B событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.
Если события A и B – совместимые, то их сумма означает наступление или события А или события В, или обоих событий вместе.
Если события A и B несовместимы, то их сумма заключается в появлении только одного из них.

Вероятность появления одного из двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Вероятность суммы двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Произведением AB событий А и В называется событие, которое состоит в совместном появлении этих событий.
Если события A и B – совместимые, то их произведение означает наступление и события А, и события В.
Вероятность события B, найденная в предположении, что событие A уже произошло, называется условной вероятностью события B относительно события A и обозначается

Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло, т.е. события зависимые друг от друга

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий
Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого

Вероятность события A – появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

ФОРМУЛИ ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ ТА БЕЙЄСА

Пусть событие A может произойти при условии появления одного из несовместимых событий: , составляющих полную группу.
События называются гипотезами.
Пусть известны вероятности гипотез и условные вероятности события A относительно каждой из гипотез
Тогда вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:

Пусть событие A может произойти при условии появления одной из гипотез составляющих полную группу. Пусть известны вероятности этих гипотез – а также условные вероятности события A при осуществлении каждой из этих гипотез. Допустим, что в результате произведенного опыта событие A наступило. Требуется определить, как изменились вероятности гипотез после появления события A.
Задачи такого типа решаются с помощью формулы Байеса: