Возрастание и убывание функции

Критерии оценивания
знает определение критических точек функции;
умеет находить критические точки функции;
знает необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции на интервале
умеет находить интервалы возрастания (убывания) функции

Возрастание и убывание функции
Подняться на гору. Функция возрастает на интервале [b; a]
При спуске с горы. Функция убывает на интервале [a; c]

По графику функции y=f(x) ответьте на вопросы:
Сколько промежутков возрастания у этой функции?
Назовите наименьший из промежутков убывания этой функции

По графику функции y=f ´(x) ответьте на вопросы:
Сколько промежутков возрастания у этой функции?
Найдите длину промежутка убывания этой функции.

Рассмотрим связь между
графиком функции
и ее производной

1. Множество точек х, где график производной функции располагается выше оси Ох, соответствует множеству точек х, где график функции возрастает.
2. Множество точек х, где график производной функции располагается ниже оси Ох, соответствует множеству точек х, где график функции убывает.
Выводы:

Пример.
Установите связь между графиком функции и графиком ее производной.
При возрастании функции, значение ее производной больше нуля;
при убывании функции, значение ее производной меньше нуля

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f '(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.
Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f '(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.
Достаточное условия возрастания и убывания функции

На рисунке изображен график производной функции на промежутке (-5; 10). Найти промежутки возрастания и дать в ответе длину наибольшего промежутка.
Ответ: 3
Задача 1

Ответ: 7
Задача 2
На рисунке изображен график производной функции на промежутке (-1; 17). Найти промежутки убывания и дать в ответе длину наибольшего промежутка.

2. Обозначим нули производной
4. Определим промежутки монотонности:
4.1. Если f ' (x) > 0 , то функция возрастает на этом промежутке.
4.2. Если f ' (x) < 0 , то функция убывает на этом промежутке.
1. Покажем что на промежутке [−10; 4] функция непрерывная
На рисунке изображен непрерывный график производной функции y = f ' (x) на промежутке [-10; 4]. Найти промежутки возрастания и убывания функции f ' (x).
3. Находим знаки производной на каждой промежутке:
3.1. f ' (x) > 0 (график расположен выше оси Ох)
3.2. f ' (x) < 0 (график расположен ниже оси Ох)

Найдем область определения функции.
Найдем производную функцию.
Найдем нули производной.
Методом интервалов определим знаки производной на каждом промежутке.
Используя достаточный признак возрастания (убывания) делаем вывод.
Алгоритм исследования на монотонность:

Найдите промежутки монотонности функции f(х) = х4 - 2х2
1. D(f) = R
2. f/(x) = 4х3 - 4х,
3. f/(x)>0, 4х3 - 4х >0, х3 - х >0, х(х-1)(х+1)>0
Решение по алгоритму
-1 0 1 х
f/(x): - + - +
f(х):
4. Функция (-∞;-1)] и [(0; 1)] на интервале убывает.
Функция [(-1; 0)] и [(1; + ∞)] на интервале возрастает.
Задача 1

Задача 2
Найдите промежутки монотонности функции