Функция y = cosx её свойства и график

Цель:
Изучить функцию y = cos x
Задачи:
1. Изучить свойства функции у = cos x.
2. Уметь применять свойства функции у = cos x и читать график.
3. Формировать практические навыки построения графика функции у = cos x на основе изученного теоретического материала.
4. Закрепить понятия с помощью выполнения заданий.

Функция y = cos x определена на всей числовой прямой, и множеством её значений является отрезок [−1;1].
Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y= −1 и y=1.
Так как функция y = cos x периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn, n∈Z, график будет таким же.

Рассмотрим поведение функции и отметим важнейшие точки на промежутке [0;π]
В координатной плоскости
На числовой окружности

Функция y = cos x является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси ОУ
Для построения графика на отрезке - π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π, а затем симметрично отразить его относительно оси ОУ
График функции y = cos x
Кривая, являющаяся графиком функции y=cos x, называется косинусоидой.

Свойства функции y = cos x
1. Область определения — множество R всех действительных чисел. D(y) = (-∞; + ∞)
2. Множество значений Е(у) = [−1;1]
3. Функция периодическая с периодом T= 2π.
4. Функция чётная cos(-x) = cos x
(график симметричен относительно оси ОУ).
5. Функция ограничена и сверху, и снизу.
6. Функция y=cos x принимает:
- значение, равное 0, при x=π/2+πn,n∈Z;
- наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n∈Z;
- наименьшее значение, равное −1, при x=π+2πn,n∈Z;

7. Промежутки, на которых функция принимает положительные значения при
x ∈ (-π/2+2πn; π/2+2πn), n ∈ Z
Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения при
x ∈ (π/2+2πn; 3π/2+2πn), n ∈ Z
Функция возрастает на x ∈ [π + 2 πn; 2 πn], n ∈ Z
функция убывает на x ∈ [2 πn; π+ 2 πn], n ∈ Z

Решение задач
Задача №1
Найти пределы изменения функции y = cos t на данном отрезке [π/6; π/2]
Функция монотонно убывает на указанном промежутке, значит, наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(π/6)=√3/2, а наименьшее значение принимает на его правом конце у(π/2) = 0
Решение

Задача №2
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = cos t на данном отрезке [π/3; 7π/6]
На данном промежутке функция немонотонна.
Решение
Наибольшее значение принимает на левом конце отрезка у(π/3)=1/2, а наименьшее значение у(π) = -1

Задача 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы одно решение: 1 + cos t = a
Задача №3
Решение
Построим график функции y = 1 + cos t
Уравнение
1 + cos t = a
имеет хотя бы одно решение при aЄ [0;2]
В данном случае множество значений параметра совпадает со множеством значений функции.
Ответ: аЄ[0; 2]

Задача №4
Решить уравнение
Построим в одних координатных осях графики функций
Решение
Графики имеют только одну общую точку
А(0; 1)
Ответ: х=0

Задача №5
Найти число корней уравнения
Решение
На промежутке [-π; 0] функция у=cosx монотонно возрастает, функция у=х2 монотонно убывает. Это значит, что на данном промежутке графики имеют только одну общую точку.
На промежутке [0; π] функция у=cosx монотонно убывает, функция у=х2 монотонно возрастает. Значит, и на этом промежутке графики имеют только одну общую точку.
Ответ: два корня

Построить график функции y=cos3x
Задача №5
Косинус – четная функция, строим график на участке
[0; π/3], затем симметрично отображаем относительно оси y и получаем график на промежутке [-π/3; π/3] длина которого равна периоду. График сжимается к оси Оу в 3 раза.
Решение

Задания для самостоятельного решения
1) Постройте графики функций
1) у = cosx + 1;
2) у = cosx – 1;
3) у = cos (x + π/2)
4) у = cos (x – π/3)
2) Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=cos (x) на отрезке [0; 4π/3]

3) Определить область значений функции y=−8cosx+3.
4) Определить чётность или нечётность функции:
f(x)=x5⋅cos6x.
5) Определить, возрастает или убывает функция y=cosx на отрезке: [−4π;−3π].
6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
y=cos42x−sin42x+4.
7) Определить наименьшее и наибольшее значения функции y=cosx
на полуинтервале (−4π/3;−π/3].