Задачи. Геометрия 8 кл

В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к нему, - 12 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник, и радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Дано: ∆ ABC – р/б, AB=BC, BH ⊥ AC, BH = 12 см, AС=10 см, окр.(О; r) вписана в ∆ ABC, окр.(О1; R) описана около ∆ ABC.
Найти: r, R
А
С
B
H

А
С
B
О
H
Решение:
т. О – точка пересечения биссектрис ? О – центр вписанной окружности. BH высота и медиана (∆ ABC – р/б) ?АH = HC и BH ⊥ AC ?
OH – серединный ⊥ -яр к AC ? OH = r.
AH = 10 : 2 = 5см,
∆ ABH – прямоуг.,

Решение:
т. О1 – точка пересечения серединных ⊥-ов ? О1 – центр описанной окружности ?АО1=BО1=R.
∆ AO1H – прямоуг., AH=5см.
Пусть О1H = x, тогда АО1=BО1=12-x.
По т. Пифагора:
АО12 = АH12 + О1H2 ?
52 + x2 = (12-x)2,
А
С
B
О1
H

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60º, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Дано: ABCD – р/б трапеция, AD = BC=DC, ∠A = 60°, AB = 12,
окр.(О; R) описана около ABCD
Найти: R

Решение:
Вписанный ∠ВАD опирается на ∪DCB и ∠ВАD =60° ? ∪DCB = 2· ∠ВАD = 120°.
Т.к. BC = DC ? ∪DC = ∪BC ? ∪DC = 60°.
∪DC, ∪BC, ∪AD стягивают равные хорды DC, BC, AD ? ∪DC = ∪BC = ∪AD = 60°.
∪AB = ∪AD + ∪DC + ∪BC,
∪AB = 60° · 3 = 180° ? АВ – диаметр, АВ = 12 ?R = 12 : 2 = 6.
Ответ: R = 6.

D
В
С
Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
А
№ 697
F
a1
a2
a3
…
К