Основы логики

Что же такое логика?
Логика является одной из дисциплин, образующих математический фундамент информатики. В вычислительной технике и автоматике используются логические схемы – устройства, которые преобразуют логические сигналы. Любой язык программирования содержит логические переменные и средства для описания вычисления логических выражений (например, в условных операторах). Логические методы применяются и при работе с базами данных.
Логика – это наука о законах и формах мышления.
Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который реализуется в таких естественно сложившихся формах как понятие, суждение, умозаключение и доказательство.

Этапы развития логики
Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные в 4 веке до нашей эры древне-греческими мыслителями.
Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания.

В XVII веке немецкий ученый и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646 – 1716) попытался построить первые логические исчисления, усовершенствовал и уточнил логическую символику.

Другой великий математик – англичанин
Джордж Буль
(1815 – 1864) открыл новую область науки – математическую логику. В его работах логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Этот раздел называют алгеброй логики или булевой алгеброй.

Основы логики
В логике основным объектом является высказывание.
Высказывание (суждение) - это форма мышления, с помощью которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.
О предметах можно судить верно или неверно, т.е. высказывание может быть истинным или ложным. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным суждение будет в том случае, когда связь понятий искажает объективные отношения, не соответствует реальной действительности. В естественном языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, оценка истинности или ложности которых невозможна. Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.

Определить что является высказыванием?
Сканер - это устройство ввода.
Прослушайте сообщение!
4+5=10
Кто отсутствует?
Париж — столица Англии.
Число 11 является простым.
Делайте утреннюю зарядку!
Летом бывает дождь.

Определите истинность высказываний:
Все медведи — бурые.
Аристотель – основоположник логики.
В прямоугольнике все углы прямые.
Монитор – устройство обработки информации.
Гигабайт – самая большая единица измерения информации

Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Примеры:
В каждом ромбе диагонали взаимно перпендикулярны. (простое, истинное)
Процессор является устройством вывода информации.(простое, ложное)
Процессор является устройством вывода информации, и клавиатура является устройством вывода информации. (составное, ложное)
Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения здравого смысла или с опорой на известные факты наук, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью алгебры логики, которую интересует не содержание высказывания, а только его истинность или ложность.
Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным).
Алгебра логики определяет правила записи, упрощения, преобразования высказываний и вычисления их значений.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:
А = {Аристотель - основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}.
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции. Логические операции задаются таблицами истинности.

Алгебра высказываний
1. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение):
в естественном языке соответствует союзу и;
обозначение &, ∧, ×;
в языках программирования обозначение And.
Составное высказывание, образованное в результате логического умножения, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Примеры: 2*2=4 и 3*3=9 (И и И = И)
2*2=5 и 3*3=9 (Л и И = Л)

2. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение)
в естественном языке соответствует союзу или;
обозначение ∨, ⏐ , + ;
в языках программирования обозначение Or.
Составное высказывание, образованное в результате логического сложения, истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
Примеры: 2*2=4 или 3*3=10
(И или Л = И)
2*2=5 или 3*3=10
(Л или Л = Л)

3. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание)
в естественном языке соответствует словам неверно, что... и частице не;
обозначение ;
в языках программирования обозначение Not;
Логическое отрицание делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Примеры: А={2*2=4} ={2*2≠4}

4.Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование):
в естественном языке соответствует обороту если ..., то ...;
обозначение ? .
Составное высказывание, образованное в результате логического следования, ложно тогда и только тогда, когда из истинного первого высказывания следует ложное второе высказывание.

Примеры:
Если число делится на 10, то оно делится на 5 – истинно, т.к. истинны и первое высказывание, и второе.
Если число делится на 10, то оно делится на 3 – ложно, т.к. из истинного первого высказывания делается ложный вывод.
Если первое высказывание ложно, то вне зависимости от истинности или ложности второго высказывания все составное высказывание истинно (из неверного высказывания может следовать что угодно).

5.Логическая операция ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (равнозначность):
в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае;
обозначения ~ ,
Составное высказывание, образованное в результате эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Примеры:
А={Компьютер может вычислять}
В={Компьютер включен}
{Компьютер не может вычислять} ⇔ {Компьютер не включен} - истинно
{Компьютер не может вычислять} ⇔ {Компьютер включен} - ложно
{Компьютер может вычислять} ⇔ {Компьютер не включен} - ложно
{Компьютер может вычислять} ⇔ {Компьютер включен} - истинно
Логические операции имеют следующий приоритет:
действия в скобках,
ИНВЕРСИЯ (отрицание)
КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)
ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение)
ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование)
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ (равнозначность)

Упражнения
I. Выделите в составных высказываниях простые. Обозначьте каждое из них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание и определите его истинность.
1) Число 376 четное и трехзначное.
(составное высказывание)
В алгебре логики записывается А ∧ B = 1 ∧ 1 = 1 (Истина)
Выделим простые высказывания
А = {Число 376 четное } А=1(истина)
В = {376 трехзначное}. В=1(истина)
А и В составное высказывание, образовано логической операцией
КОНЪЮНКЦИЯ (союз и), истинно тогда и только тогда, когда
истинны все входящие в него простые высказывания

2) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
(простое высказывание)
В алгебре логики записывается = 1 (Истина)
Выделим простое высказывание
А = {Солнце движется вокруг Земли} А=0(ложь)
Высказывание, образовано логической операцией
ИНВЕРСИЯ (оборот речи Неверно, что), делает истинное
высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным

3) Сентябрь – осенний месяц или октябрь – зимний месяц.
(составное высказывание)
В алгебре логики записывается А ∨ B = 1 ∨ 0 = 1 (Истина)
Выделим простые высказывания
А = {Сентябрь – осенний месяц } А=1(истина)
В = {октябрь – зимний месяц}. В=0(ложь)
А или В составное высказывание, образовано логической операцией
ДИЗЪЮНКЦИЯ (союз или), истинно тогда, когда истинно хотя бы
одно из входящих в него простых высказываний

Упражнения
3) Если сумма цифр числа 12 делится на 3, то число делится на 3
4) Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.

II. Найдите значение выражения
(5>6) &(3=4)
(5<6) ∨ (3>4)
0
0
0 & 0 = 0
1
0
1 ∨ 0 = 1
Истинное высказывание обозначаем - 1, ложное высказывание обозначаем - 0

III. Найдите значения логических выражений:
а) (1 ∨ 0) ∨(1 ∨ 0);
б) ((1 ∨ 0) ∨ 1) ∨ 0;
в) (0 ∨ 1) ∨(1 ∨ 0);
г) (0&1)&1;
д) 1&(1&1)&1;
е) ((1 ∨ 0)&(1&1))&(0 ∨ 1);
1
1
1
1
1
0
Истинное высказывание обозначаем - 1, ложное высказывание обозначаем - 0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1

IV. Даны простые высказывания: А = {5>3}, В = {2=3} и С = {4<2}.
Определите истинность составных высказываний:
а) (A ∨ B) & C ⇒ (A & C) ∨ (B&C);
б) (A&B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) & (A & B).
А=1
В=0
С=0
(1 ∨ 0 ) & 0 ⇒ (1 & 0 ) ∨ (0 & 0 )
= 1
0 ⇒ 0
(1 &0) ∨ 0 ⇔ (1 ∨ 0 ) & (1 & 0 )
= 1
0 ⇔ 0

Самостоятельно
Даны простые высказывания:
А = {Принтер – устройство ввода информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С = {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.
Определите истинность составных высказываний:
а) (А&В) & (C \/D);
б) (А \/ В) (C \/ D);
в) (А \/ В) (C & D);
г) А В

Решение:
Даны простые высказывания:
А = {Принтер – устройство ввода информации},
В = {Процессор – устройство обработки информации},
С = {Монитор – устройство хранения информации},
D = {Клавиатура – устройство ввода информации}.
Определите истинность составных высказываний:
а) (А&В) & (C \/D);
б) (А \/ В) (C \/ D);
в) (А \/ В) (C & D);
г) А В
В=1
А=0
С=0
D=1
0
1
0
0