Перестановки

Цель нашего урока
целеполагание
В комбинаторных задачах часто ставится вопрос о том, сколькими способами можно расположить в ряд, или, как говорят математики, упорядочить, все элементы некоторого множества.

Что сделано дома: Вопросы и задания
Подведение итогов, рефлексия, домашнее задание.
а) В спартакиаде приняли участие 7 боксёров, причём каждый с каждым провёл по одному бою. Сколько всего боёв было проведено?
б) На деловую встречу пришли 6 бизнесменов, и каждый с каждым обменялись рукопожатием. Сколько всего было сделано рукопожатий?
в) Четыре подруги каждая с каждой обменялись sms-сообщениями. Сколько всего было отправлено сообщений?
г) Пять государств установили друг с другом дипломатические отношения, при этом каждое с каждым обменялось послами. Сколько всего послов было направлено?
д) Четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой, соединили попарно отрезками. Сколько всего отрезков было проведено?

Математическая разминка
Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала.
Сколько будет всевозможных двузначных чисел из указанных цифр: 1, 2, 3, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Сколько будет всевозможных двузначных чисел из указанных цифр: 0, 3, 4, если в записи числа допускается повторение цифр?

Произведение всех натуральных чисел от 1 до п обозначают п!; читают: “n факториал”.
Работаем с символами: факториал
Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи
Правило:
Факториалы растут удивительно быстро.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А значение выражения 15!, которого нет в таблице, превосходит 1012, а именно: 15! = 1 307 674 368 000. Может быть, именно из-за быстрого роста факториалов восхищённый изобретатель этого выражения использовал восклицательный знак.

Работаем с символами: факториал
Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи
да
?
нет
?
да
?

Перестановки
Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи
В турнире четверо участников. Сколькими способами могут распределиться места между ними?
Задача
Рассуждаем в соответствии с правилом умножения:
4 • 3 • 2 • 1 = 24 способами.
4 • 3 • 2 • 1 = 24 1 • 2 • 3 • 4 = 24 = 4!
Каждое расположение элементов множества в определённом порядке называют перестановкой.

Перестановки
Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи
8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1 = 40320
?
1 способ – умножение:
8! = 40320
?
2 способ – формула:
Формула:

Перестановки
Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи
В расписании 7 класса на четверг должно быть
шесть предметов: русский язык, литература, алгебра, география,
физика, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?
Пример 1
Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из шести элементов:
?
Р6 = 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙б = 720.

Перестановки
Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи
Сколькими способами можно составить расписание из тех же шести предметов, если требуется, чтобы урок физкультуры был последним?
Пример 2
Число способов, которыми можно составить расписание, равно числу перестановок из пяти элементов:
?
Р5 =5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120.

Практическая ситуация
Практикум
?
Р3 =3! = 1∙2∙3 = 6 , нет.

Перестановки
Практикум
?
Р6 =6! = 720
?
Р5 =5! = 120

?
Перестановки
Организация и самоорганизация учащихся. Организация обратной связи
Сколькими способами из тех же шести предметов можно составить такое расписание, в котором русский язык и литература стоят рядом?
Пример 3
Русский язык
Литература
Литература
Русский язык
Р5 = 5!
Р5 = 5!
Искомое число расписаний вдвое больше: 5! ∙ 2 = 240

Вопросы и задачи
Практикум
?
4! = 24.
?
4∙4! = 96.