Сложение гармонических колебаний

Содержание

Слайд 2

1. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА (I)

Сложение гармонических колебаний одного направления облегчается и
становится наглядным,

1. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА (I) Сложение гармонических колебаний одного направления облегчается и становится
если изображать колебания графически в виде
векторов на плоскости. Такой способ называется векторной диаграммой.
Из точки 0, взятой на оси x отложим вектор
длины А, образующий с осью угол
Если привести этот вектор во вращение с
угловой скоростью то координата
конца вектора будет изменяться по закону
Следовательно, проекция
конца вектора на ось x будет
совершать гармонические
колебания с амплитудой, равной
длине вектора циклической
частотой и начальной фазой
равной углу, образуемому
вектором с осью x в начальный момент времени.

Слайд 3

2. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА (II)

Рассмотрим сложение двух
гармонических колебаний
одинакового направления и
одинаковой частоты.
Смещение

2. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА (II) Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и
колеблющегося
тела будет суммой смещений
исходных колебаний

Представим оба колебания с
помощью векторов и Построим по правилам сложения векторов
результирующий вектор Проекция этого вектора на ось равна
сумме проекций слагаемых векторов и

Вектор задает результирующее колебание с той же частотой и
амплитудой которую определим по теореме косинусов:
Из рисунка понятно, что

Слайд 4

3. БИЕНИЯ (I)

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления
с близкими частотами.

3. БИЕНИЯ (I) Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления с близкими

Пусть – циклическая частота первого колебания, тогда – час-
тота второго колебания, причем (близкие частоты).
Для простоты будем полагать, что амплитуды колебаний одинаковы, а
начальные фазы равны нулю. Тогда уравнения колебаний имеют вид:

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для
суммы косинусов, получаем

Слайд 5

4. БИЕНИЯ (II)

Первый множитель в формуле

изменяется значительно медленнее, чем второе, так как

4. БИЕНИЯ (II) Первый множитель в формуле изменяется значительно медленнее, чем второе,
Это
позволяет рассматривать результи-рующее колебание как гармоничес-кое с высокой частотой амплитуда которого пульсирует с низкой частотой
Такое колебание называется биениями.

Амплитуда биений определяется модулем выражения, стоящего перед гармонической функцией высокой частоты

Амплитуда колеблется с частотой – частотой биений.

Слайд 6

5. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Пусть частица участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях

5. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ Пусть частица участвует одновременно в двух взаимно
одной частоты. Пусть колебания вдоль оси происходят с
нулевой начальной фазой, а вдоль оси со сдвигом по фазе на
Тогда уравнения колебаний примут вид:

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде исключим время
Из первого уравнения следует, что

Подставляя синус и косинус в формулу
для получим:
Уединяя иррациональность и возводя в квадрат, придем к уравнению

которое представляет собой
уравнение эллипса. Полуоси
этого эллипса в общем случае
не совпадают с осями координат.

Слайд 7

6. ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ

Определим форму траектории результирующего колебания для

6. ДВИЖЕНИЕ ПО ПРЯМОЙ Определим форму траектории результирующего колебания для некоторых частных
некоторых частных случаев.
Пусть В этом случае общее уравнение траектории

принимает вид
Движение
является гармоническим
колебанием вдоль прямой
с амплитудой

2. Пусть В этом случае

Траектория является прямой, лежа-
щей во 2-м и 4-м квадрантах.

Слайд 8

7. ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПСУ

При общее
уравнение траектории

принимает вид

Это уравнение эллипса, приведенного
к координатным осям,

7. ДВИЖЕНИЕ ПО ЭЛЛИПСУ При общее уравнение траектории принимает вид Это уравнение
причем полуоси
эллипса равны соответствующим
амплитудам колебаний.

При
движение против
часовой стрелки.

При
движение по
часовой стрелке

Слайд 9

8. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ

Если

то уравнение траектории

Знак «+» в выражении для
соответствует

8. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ Если то уравнение траектории Знак «+» в выражении
движению против часовой стрелки, знак «-» – движению по часовой стрелке.

принимает вид

При равенстве амплитуд
эллипс вырождается
в окружность.
Это означает что равномерное
движение по окружности
радиуса с угловой
скоростью может быть
представлена как сумма двух
взаимно перпендикулярных
колебаний

Имя файла: Сложение-гармонических-колебаний.pptx
Количество просмотров: 556
Количество скачиваний: 6