Методы решения логарифмических уравнений

Основные методы решений логарифмических уравнений

Определение
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, , называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

1. Использование определения логарифма.

2. Метод потенцирования.
Пример 2.

3. Введение новой переменной.
Пример 3.

4. Приведение логарифмов к одному основанию.

5. Метод логарифмирования.

6.

Каждому уравнению поставьте в соответствие
метод его решения
*
по определению логарифма
метод потенцирования
метод подстановки
метод логарифмирования
решение по формуле

Функциональные методы решения логарифмических уравнений
*

Использование области допустимых значений уравнения

Определение
Областью допустимых значений уравнения называется общая область определения всех функций, входящих в уравнение
Утверждение1
Если область допустимых значений уравнения пустое множество, то уравнение не имеет корней.
Например:
ОДЗ
Ответ : корней нет.

Утверждение 2.
Если область допустимых значений уравнения состоит из конечного числа значений, то корни уравнения содержатся среди этих значений.
Это условие является необходимым, но не является достаточным.
Поэтому необходима проверка.
Пример.
+
ОДЗ

Проверка: При х = -1 получаем 0=2. Равенство неверно.
Значит х = -1 не является корнем уравнения.
При х=1 получаем 0=0.
Значит х=1 - корень уравнения.
Ответ:1

Алгоритм решения
Находим ОДЗ уравнения.
2) Если ОДЗ - пустое множество, то уравнение не имеет корней.
Если ОДЗ - конечное множество значений, то эти значения надо подставить в уравнение.

Использование монотонности функций.

*
Теорема.
Если функция ƒ(х) монотонна на некотором промежутке , то уравнение ƒ(х) = c имеет на этом промежутке не более одного корня.
Пример:
log3 x + log8 (5 + x) = 2
ОДЗ: х > 0
5 + x > 0 0 < x < 5
Подбором находим корень уравнения x = 3.
Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух возрастающих функций, то она возрастающая.
Значит тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 3.

Теорема.
Если на некотором промежутке функция ƒ(х) возрастает, а функция g(х) убывает, то уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня.
Пример:
log0,5 8/х = 2 – 2х
ОДЗ: x > 0
Подбором находим корень уравнения x = 2.
Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие
Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая
(как убывающая функция от убывающей)
Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая
Тогда данное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 2
*

Алгоритм решения
Найти ОДЗ.
Подбором найти корень уравнения.
С помощью монотонности функции доказать, что корень единственный.
*

Использование
множества значений (ограниченности) функций

*
f(x) и g(x)- элементарные функции, Е(f) и Е(g) – множества значений этих функций.
Утверждение 1.
Если пересечение множеств значений функций f(x) и g(x) пусто ( E(ƒ)∩ E(g)=Ø ),то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней.
Пример:
Рассмотрим функции f(x)= и g(x)=
Найдём их области значений.
Е(f): Е(g):
E(ƒ)∩ E(g)=Ø
Ответ: нет корней

Утверждение 2.
Если E(ƒ)∩E(g)= и f(x)≤ M, а g(x)≥M, то уравнение
f(x)= g(x) равносильно системе уравнений
Пример
*
Ответ: 0
X=0

Алгоритм решения
1.Оценить обе части уравнения
2.Если f(x)≤ M, а g(x)≥M, то равенство f(x)= g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x) и g (x) одновременно будут равны M, т.е.
f(x)= g(x)
Можно решить одно уравнение системы и полученный корень подставить в другое уравнение.
*

Проверьте свои знания тестированием
Пройдите по ссылке:
Логарифмические уравнения. Логарифмические уравнения.exe
*
Критерии оценки
3 б. – «3», 4-5 б. – «4», 6 б. – «5»

Ну кто придумал эту математику !
У меня всё получилось!!!
Надо решить ещё пару примеров.
Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.
Рефлексия