Особые приёмы решения логарифмических неравенств с переменной в основании Занятие №3

Решение простейших логарифмических неравенств:
a > 1
x1 > x2 > 0
a > 1
x2 > x1 > 0
0 < a < 1
x2 > x1 > 0
0 < a < 1
x1 > x2 > 0

Свойство знаков
двух выражений:
выражения
log a b и (b – 1)(a – 1)
имеют один знак

Решение логарифмических
неравенств с применением доказанного свойства

Алгоритм решения неравенства log h(x) f(x) > log h(x) g(x)
1) Находим область допустимых значений переменной (ОДЗ):
2) Решаем неравенство (f(х) – g(х))(h(х) – 1) > 0.
(Условимся далее две последние строки системы писать одной так: 0 < h(x) ≠ 0)
3) Для найденного решения учитываем ОДЗ.
4) Записываем ответ.

Решите неравенство:
1) ОДЗ:
2)
а)

б)
С учётом ОДЗ – все х из
С учётом ОДЗ – все х из
Ответ:
≈ 2,24
≈ 2,24
≈ 3,6
≈ 3,6

Решите неравенство:
Ответ:
В решении этого неравенства используем то, что
Интересно, а может знак выражения
совпадает со знак выражения

Докажем, что выражения
a b – a с и (a – 1)(b – с) имеют один знак ( а > 0, а ≠ 1)
Докажем, например, что a b – a с > 0 и (a – 1)(b – с) > 0
Доказательство.
1) а > 1; а – 1 > 0.
a b – a с > 0;
a b > a с ;
показательная функция с основанием а > 1 – возрастает, тогда
b > с;
b – с > 0;
получили:
2) а – положительно, но а < 1; а – 1 < 0.
a b – a с > 0;
a b > a с ;
показательная функция с основанием 0 < а < 1 – убывает, тогда
b < с;
b – с < 0;
получили:
Доказано, что

Заключение о знаках
двух выражений:
выражения
a b – a с и (a – 1)(b – с)
( а > 0, а ≠ 1)
имеют один знак

Решите неравенство:
3) знак выражения
совпадает со знак выражения
В исходном неравенстве заменяем каждый множитель на выражение того же знака, получаем
обязательно учитывая при этом ОДЗ:

ОДЗ:
Неравенство
имеет решение:
С учётом ОДЗ, окончательно получим