Всё о квадратном уравнении

Нет повести обширнее, наверное,
Чем повесть о квадратном уравнении…
Определение квадратного уравнения
(серия 1)

1. Какие уравнения называют квадратными?
Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а ≠ 0.

2. Как называются коэффициенты квадратного уравнения?
а – первый или старший коэффициент,
b – второй коэффициент,
с – свободный член.

3. Какие уравнения называют приведёнными? Как из полного уравнения получить приведённое?
Приведённым квадратным уравнением
называют уравнение вида .
Нужно полное квадратное уравнение разделить на коэффициент а.

4. Какие бывают неполные квадратные уравнения?
Если а ≠ 0, b = 0, с = 0, то ах2 = 0.
Если а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0, то ах2 + bx = 0.
Если а ≠ 0, b = 0, c ≠ 0, то ах2 + с = 0.

5. Описать методы решения неполных квадратных уравнений.
ах2 = 0,
х = 0.
ах2 + bx = 0,
х(ах + b) = 0,
х1 = 0, х2 = - b/a.
ах2 + с = 0,
x2 = - c/a,
x1,2 = ± √- c/a.

Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена
(серия 2)

1. Запишите формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.
Квадрат суммы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

2. Решите уравнения: (x + k)2 = 0 и (x – k)2 = 0.
(x + k)2 = 0, x + k = 0, x = – k.
(x – k)2 = 0, x – k = 0, x = k.

3. Запишите алгоритм решения приведённого квадратного уравнения методом выделения квадрата двучлена.
x2 + 2px + q = 0;
x2 + 2px + p2 = p2 – q;
(x + p)2 = p2 – q;
x + p = ± √ p2 – q, если p2 – q ≥ 0;
x1,2 = – p ± √ p2 – q.

Формула корней квадратного уравнения
(серия 3)

1. Запишите общую формулу квадратного уравнения.
ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и с – любые действительные числа, причём а ≠ 0.

2. Что такое дискриминант?
D = b2 – 4ac.

3. Какая зависимость между знаком дискриминанта и количеством решений квадратного уравнения?
если D > 0, то уравнение имеет два корня;
если D = 0, то уравнение имеет один корень;
если D < 0, то уравнение корней не имеет.

4. Запишите формулу корня уравнения, если
D = 0.
если D = 0, то x = – b/2a.

5. Запишите формулу корней уравнения, если D > 0.
если D > 0, то

Теорема Виета
(серия 4)

1. Запишите формулу приведённого квадратного уравнения.
x2 + px + q = 0

2. Чему равен дискриминант приведённого квадратного уравнения?
D = p2 – 4q.

3. Сформулируйте теорему Виета для приведённого квадратного уравнения.
«Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену»
х1 + х2 = – р; х1 · х2 = q.

4. Запищите формулы Виета для квадратного уравнения общего вида.

5. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.
Если числа х1 и х2 таковы, что
х1 + х2 = –р и х1 · х2 = q, то эти числа – корни уравнения х2 + рх + q = 0.

Биквадратные уравнения
(серия 5)

1. Запишите общий вид биквадратного уравнения.
ax4 + bx2 + c = 0

2. Приведите алгоритм решения биквадратного уравнения.
ввести новую переменную х2 = t;
сделать замену в уравнении: at2 + bt + c = 0;
найти корни полученного уравнения:
сделать обратную подстановку: 1) х2 = t1, 2) x2 – t2;
если t > 0, то х = ± √t,
если t = 0, то х = 0,
если t < 0, то корней нет.

Домашнее задание:
Пункт 3. 7. Прочитать, сделать необходимые записи в справочник.