Les équations différentielles relatives aux oscillateurs mecaniques le pendule simple

QUELQUES REMARQUES PRELIMINAIRES
Un mouvement harmonique simple existe lorsqu’une force de rappel est appliquée
au système.
Cette force est proportionnelle et de sens opposé au déplacement repéré
par rapport à une position d’équilibre
Dans un mouvement harmonique simple, l’énergie cinétique et l’énergie potentielle
changent constamment.
Leur somme, l’énergie mécanique, demeure constante
Lors d’oscillations simples, l’amplitude est constante et la période est
indépendante de l’amplitude

Il peut se produire un phénomène de résonance dans le cas où le système
est entraîné par une force périodique dont la fréquence est proche de la fréquence
propre d’oscillation du système
Les systèmes soumis à des forces élastique (proportionnelles à la déformation)
décrivent un mouvement sinusoïdal Ils constituent des oscillateurs harmoniques
Dans le cas d’oscillations mécaniques
le système subit un déplacement linéaire ou angulaire
Oscillations non mécaniques
(phénomènes électriques)
Oscillations harmoniques simples
(oscillations sans perte d’énergie)
Oscillations harmoniques amorties
(existence de frottements, diminution de l’énergie)

TERMINOLOGIE
Mouvement périodique
Mouvement ou évènement qui se répète à des intervalles réguliers
T
période du mouvement
unité : seconde (s)
Oscillations
mouvement de va et vient entre deux positions extrêmes sur une trajectoire donnée
autour d’une position d’équilibre stable (d’une valeur d’équilibre ou valeur centrale)
f
fréquence
unité : s-1 ou hertz (HZ)
1 Hz = 1 oscillation par seconde

DEFINITION
on appelle pendule tout système pouvant osciller dans un plan vertical
autour d’un point fixe
un pendule simple est constitué d’un objet ponctuel suspendu à un point fixe
par un fil de longueur l invariable et de masse négligeable
position d’équilibre
stable
Système : bille de masse m
Référentiel : géocentrique
Supposé galiléen
Repère : attaché à la bille
Forces extérieures appliquées
à la bille :
tension du fil
poids
Principe d’inertie

élongation angulaire
(abscisse angulaire)
Amplitude
si θm ne varie pas, les oscillations
sont dites non amorties
reste toujours perpendiculaire
au mouvement
CONFIGURATION À INSTANT T DONNÉ

CONFIGURATION À INSTANT T DONNÉ
Projections sur les axes du repère

projection sur les deux axes perpendiculaires
Ox, tangente au mouvement
Oy, axe radial
POSITION D’ÉQUILIBRE STATIQUE À UN INSTANT DONNÉ
Force de rappel vers la position d’équilibre

ABSCISSE CURVILIGNE
sur la trajectoire circulaire (centre O, rayon l) décrite par le système de masse m
l’abscisse curviligne est donnée par
APPLICATION DEUXIEME LOI DE NEWTON
équation différentielle du second ordre à coefficient constant
l’équation précédente ne correspond pas à un mouvement harmonique simple

HYPOTHESE DES PETITES OSCILLATIONS
ISOCHRONISME
équation du mouvement dans ces conditions
on retrouve l’écriture générale du mouvement harmonique simple
Si l'angle θ devient trop grand, la vitesse de la boule est très grande au passage à l'équilibre et les frottements fluides dus à l'air ne sont plus négligeables. La période varie au cours du temps.

ENERGIE POTENTIELLE DU PENDULE A UN INSTANT DONNE
Origine des altitudes
Origine de l’énergie potentielle

ENERGIE CINETIQUE DU PENDULE A UN INSTANT DONNE
Rappel de l’abscisse curviligne :
VITESSE

ENERGIE MECANIQUE DU PENDULE A UN INSTANT DONNE
Le système est isolé, pas de frottements, il y a conservation de l’énergie mécanique
dans le cas d’un oscillateur non amorti (pendule simple)
REMARQUES
le travail de la tension est nul : la force est perpendiculaire au déplacement

VARIATION DE L’ÉNERGIE MÉCANIQUE EN FONCTION DU TEMPS
L’énergie mécanique est constante donc :
On aboutit à l’équation
différentielle obtenue en
utilisant les lois de Newton

Ce pendule est constitué d’une bille de masse m = 30 g suspendue à l’extrémité d’un fil inextensible de masse négligeable (devant celle de la bille).

énergie potentielle
maximum
puits de potentiel du pendule simple
le pendule oscille périodiquement dans un
puits de potentiel. On dit qu’il est confiné.
élongation pour laquelle la vitesse
s’annule
le pendule franchit les barrières de
potentiel
sa vitesse angulaire ne peut s'annuler
le pendule tourne autour du point O.

niveau 0
énergie potentielle
vitesse maximale

conservation de l’énergie mécanique
BILAN DE L’ENERGIE MECANIQUE