Применение подобия к доказательству теорем и решению задач

Определение подобных треугольников
~
=
=

I признак подобия треугольников
Дано:
Доказать:
~

II признак подобия треугольников
Дано:
Доказать:
=
~

III признак подобия треугольников
Дано:
Доказать:
~
=
=

Задача1
А
В
С
Доказать:
~
Доказательство:
∠В=180°-(∠А+ ∠С)=180°-(30°+80°)=70°
∠В= ∠N, ∠C= ∠K
ΔABC~ΔMNK (по I признаку подобия)

Задача 2
A
B
C
D
K
4
8
10
5
Доказать: ΔABC~ ΔDBK
Доказательство:
∠B – общий
ΔABC~ ΔDBK (по II признаку)

Задача 3
А
В
С
Доказать:
~
Доказательство:
ΔABC~ΔMNK (по III признаку подобия)
4
5
6
9
6
7,5
NK
=
BC
6
4
MN
=
AB
9
6
=
=
⇒
NK
=
BC
MN
AB
3
2
3
2
MK
=
AC
7,5
5
=
3
2
=
MK
AC

Определение
A
C
B
M
N
AM=MB, BN=NC
MN – средняя линия
треугольника
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника
Дано:
MN – средняя линия
Доказать: MN AC,
MN=
1
2
AC
Доказательство:
МN – средняя линия
⇒ AM=MB, BN=NC ⇒
MB
AB
NB
CB
=
=
1
2
MB
AB
NB
CB
=
=
1
2
,
∠B – общий ⇒
~
(по II признаку подобия)⇒
MN
AC
=
1
2
∠BMN= ∠BAC(соответственные) ⇒ MN AC
⇒
MN =
1
2
AC

Задача А1
A
C
B
M
K
Дано: MK=13см
Найти: AB

Задача А2
A
B
C
M
N
K
Дано: AB=10cм, ВС=14см, АС=16см
Найти: периметр ΔMNK

Задача А3
A
B
C
M
N
K
P
Q
F
Дано: AB=10cм, ВС=14см, АС=16см
Найти: периметр ΔPQF

Задача В1
A
C
B
M
K
Дано: PΔMKC =35 см
Найти: PΔABC

Задача В2
A
B
C
D
O
K
Дано: ABCD – параллелограмм
AK=KB
AK=3см.
KO=4см.
Найти: периметр ABCD

Задача С1
A
B
C
D
M
N
K
Дано: ABCD – параллелограмм
AC=10см, BD=6см
K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD и AD
Найти: периметр KLMN
L

Задача С2
A
B
C
D
M
N
K
Дано: ABCD – четырёхугольник
K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD и AD
Доказать: KLMN - параллелограмм
L

Вариньон Пьер
(1654-1722)

Задача С3
A
B
C
D
E
F
O1
O2
Дано: ABCD, DCEF - четырёхугольники
AB=CD=EF
AB II CD II EF
Доказать: O1O2 II AF
AF=2 O1O2