многогранники Платоновы тела Проектная работа по геометрии Учени 11 класса «А» 16.11.2012

многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник, состоящий

из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

называется правильным, если: • он выпуклый; • все его грани являются равными правильными

многоугольниками; • в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

всего пять правильных многогранников: • Тетраэдр • Октаэдр • Икосаэдр • Гексаэдр(к уб) • Додекаэдр

эдр (греч. τετραεδρον — четырёхгранник) — простейший многогранник, гранями

которого являются четыре треугольника. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины

и 6 рёбер.

тетраэдра: • Параллельные плоскости, проходящие через пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют

описанный около тетраэдра параллелепипед. • Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной

точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины. Эта точка делит бимедианы пополам. • Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра делит его на две равные по объёму части.

Окта́ эдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и

греч. έδρα — «основание») — один из пяти выпуклых правильных

многогранников. Октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

эдр (от греч. εικοσάς — двадцать; -εδρον — грань,

лицо, основание) — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20

граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

икосаэдра: • Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть

взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба,

остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба • В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра. • Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра. • В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра. • Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90. • Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 правильных тетраэдров.

или гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет

собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Гексаэдр имеет 6

граней, 12 рёбер, 8 вершин.

куба • Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками — эти сечения проходят

через центр куба перпендикулярно четырём его главным диагоналям. • В куб можно

вписать тетраэдр двумя способами. В обоих случаях четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба и все шесть рёбер тетраэдра будут принадлежать граням куба. В первом случае все вершины тетраэдра принадлежат граням трехгранного угла, вершина которого совпадает с одной из вершин куба. Во втором случае попарно скрещивающиеся ребра тетраэдра принадлежат попарно противолежащим граням куба. Такой тетраэдр является правильным, а его объём составляет 1/3 от объёма куба. • В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба. • Куб можно вписать в октаэдр, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра. • В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον —

грань) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина

додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°. Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.

Кеплера Сначала Кеплера соблазнила мысль о том, что существует всего

пять правильных многогранников и всего шесть (как казалось тогда) планет

Солнечной системы: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн. Показалось, что гармония мира и любовь природы к повторениям сделали правильные многогранники связующими звеньями между шестью небесными телами. Кеплер предположил, что сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Так как для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором располагается Солнце.

закона движения планет Кеплера: На основе обобщения данных, полученных в

результате наблюдений, он установил три закона движения планет относительно Солнца. • Первый

закон: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. • Второй закон: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем площадь сектора орбиты, описанная радиусом- вектором, изменяется пропорционально времени. • Третий закон: квадраты времени обращения планеты вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца. Но это были только гипотезы, пока их не объяснил и уточнил на основе закона всемирного тяготения Исаак Ньютон (1643- 1727), создавший теорию движения небесных тел, которая доказала свою жизнеспособность тем, что с ее помощью люди научились предсказывать многие небесные явления.

солнечной системы Кеплера:

в окружающем мире Правильные многогранники встречаются в совершенно разных науках

и везде в окружающем мире: • Молекулы веществ в химии • тела вирусов • Игральные

кости А так же и в других совершенно различных местах нашей вселенной, например Платон сопоставлял додекаэдр с моделью нашей вселенной. О нём он писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»

за внимание!