Числовые последовательности

§2. Числовые последовательности
1. Основные понятия
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Последовательностью называется перенумерованное множество
(чисел – числовая последовательность,
функций – функциональная последовательность и т.д.)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел.
Если область значений последовательности – числовое множество, то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.

Принято обозначать:
аргумент последовательности: n (или k)
значения функции: xn, yn и т.д.
Называют: x1 – первый член последовательности,
x2 – второй член последовательности и т.д.
xn – n-й (общий) член последовательности.
Способы задания последовательностей:
1) явно (т.е. формулой xn = f(n) )
2) рекуррентным соотношением
(т.е. формулой xn = F(xn-1, xn-2,…, xn-k) )
Записывают последовательность:
{ x1, x2, …, xn, …} – развернутая запись;
{ xn } – короткая запись (где xn – общий член)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { xn } называется
ограниченной снизу, если ∃a∈ℝ такое, что a ≤ xn , ∀n∈ℕ;
ограниченной сверху, если ∃b∈ℝ такое, что xn ≤b , ∀n∈ℕ;
ограниченной, если ∃a,b∈ℝ такие, что a ≤ xn ≤b , ∀n∈ℕ
Замечание. Условие «∃a,b∈ℝ такие, что a ≤ xn ≤b » равносильно условию «∃M>0 такое, что | xn | ≤ M »
возрастающей (неубывающей), если
xn < xn+1 (xn ≤ xn+1), ∀n∈ℕ;
убывающей (невозрастающей), если
xn > xn+1 (xn ≥ xn+1), ∀n∈ℕ;
Замечание. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называются монотонными.

2. Предел последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a∈ℝ называется пределом последовательности { xn } если ∀ε>0 ∃N∈ℕ такое, что
| xn – a | <ε , ∀n>N.
Записывают:
Говорят: последовательность { xn } сходится (стремиться) к a.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к a)
Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
предела последовательности
Пусть r∈ℝ, M(r)∈Ox
M(r) – геометрическая интерпретация числа r∈ℝ .
Пусть x0∈ℝ, ε>0.
Интервал (x0 – ε; x0 + ε) называют ε-окрестностью точки x0.
(геометрическое определение ε-окрестности точки)
Будем обозначать: U(x0, ε)
Имеем: U(x0, ε) = {x∈ℝ | |x – x0| < ε}
(алгебраическое определение ε-окрестности точки)
!

Из определения предела последовательности получаем:
если {xn}→a , то с геометрической точки зрения это означает, что в любой ε-окрестности точки a находятся все члены последовательности {xn}, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела последовательности).
⇒ a – точка «сгущения» последовательности { xn }.

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1) Две последовательности, отличающиеся на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости.
2) Последовательность может иметь не более одного предела
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
3) Если { xn } → a , то { |xn| } → |a| .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – очевидно, в силу | |xn| – |a| | ≤ |xn – a| .
4) Сходящаяся последовательность ограничена
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой.
5) ЛЕММА 1 (о роли б.м. последовательностей). Число a∈ℝ является пределом последовательности {xn} ⇔ xn= a + αn, где {αn} – бесконечно малая.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным двух последовательностей {xn} и {yn} называются соответственно последовательности
{ xn+ yn }, { xn– yn}, { xn ⋅ yn }, .
Последовательность {cxn} называется произведением {xn} на число c (произведение последовательностей {xn} и {c})

6) Пусть {xn} – ограничена, {αn} – бесконечно малая. Тогда {xn ⋅ αn} – бесконечно малая.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
7) Пусть { xn } и { yn } – сходящиеся и
Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже являются сходящимися последовательностями, причем
(доказать самостоятельно)

СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Если {xn} сходится к a, то ∀c∈ℝ последовательность {cxn} тоже сходится, причем
Говорят: «константу можно вынести за знак предела»
8) Пусть {xn} → a и xn ≥ 0 (или xn > 0), ∀n∈ℕ.
Тогда a ≥ 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
9) Пусть {xn} и {yn} – сходящиеся последовательности и
xn≤ yn (xn < yn) ), ∀n∈ℕ.
Тогда
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – следствие свойства 8.

10) ЛЕММА о двух милиционерах.
Пусть последовательности {xn} и {yn} сходятся к одному и тому же числу и ∀n∈ℕ имеет место неравенство
xn ≤ zn ≤ yn , ∀n∈ℕ.
Тогда последовательность {zn} тоже сходится, причем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.