Aproximarea numerică a funcţiilor. Metode numerice – curs 10

METODE NUMERICE – curs 10
? rezolvarea problemei → găsirea unei funcţii cu o expresie în general simplă, uşor de evaluat, derivat sau integrat, care să aproximeze cât mai bine pe f
? construirea funcţiei aproximante, F → utilizarea unei mulţimi de funcţii elementare:
bază de funcţii de aproximare liniar independente
polinom generalizat

METODE NUMERICE – curs 10
Exemplu:
aproximare cu polinoame algebrice
aproximare cu polinoame trigonometrice

METODE NUMERICE – curs 10
⮚ Distanţele uzual folosite pentru cazul discret (f este cunoscută printr-un şir de valori ):
aproximarea uniformă pentru cazul discret
aproximarea în medie pătratică pentru cazul discret

METODE NUMERICE – curs 10
7.2 Interpolarea polinomială
pentru
graficul polinomului aproximant trece prin toate punctele :
polinom de interpolare
condiţii de interpolare

METODE NUMERICE – curs 10
7.2.1 Interpolarea Lagrange
Demonstraţie:
♦ Existenţa → polinomul Lagrange
Lj(x)

METODE NUMERICE – curs 10
⇒ , unde
⇐
baza de interpolare Lagrange determinată de către divizarea Δ
♦ Unicitatea → reducere la absurd că mai există G(x) de grad n care interpolează f:
? Fie - grad maxim n
⇓
H(x) – polinom de grad maxim n cu (n + 1) rădăcini
⇒

METODE NUMERICE – curs 10
Observație:
Interpolarea Lagrange, aşa cum a fost definită în versiunea ei originală, poate eşua în anumite situaţii, în sensul că se pot produce erori de aproximare semnificative:
∈
⇒
p5(x)
p20(x)
aproximarea prin intermediul polinomului p20(x) este satisfăcătoare, după care apar diferenţe semnificative

METODE NUMERICE – curs 10
ideea de a nu folosi un polinom unic, care să aproximeze o funcţie pe întreg intervalul [a, b]
↓
se foloseşte o mulţime de polinoame, fiecare dintre acestea aproximând cât mai bine funcţia f pe un anumit subinterval al intervalului de definiţie
↓
aproximare polinomială pe porţiuni sau aproximare cu “polinoame glisante”

METODE NUMERICE – curs 10
7.2.2 Interpolarea prin intermediul funcţiilor spline
Funcţiile spline → funcţii formate din polinoame definite pe subintervale adiacente şi care se racordează în capetele subintervalelor împreună cu un număr de derivate
spline → provine din mecanică, reprezentând numele unui dispozitiv folosit de desenatori pentru a trasa o curbă netedă
→ un instrument format dintr-o bandă metalică subţire, susţinută prin intermediul unor greutăţi ? aranjate încât banda metalică să treacă prin anumite puncte date (numărul greutăţilor poate fi mai mic sau egal cu numărul punctelor)

METODE NUMERICE – curs 10
Observaţie:
m = 1 → funcţiile spline liniare
m = 2 → funcţii spline cuadrice
m = 3 → funcţiile spline cubice

METODE NUMERICE – curs 10
Demonstraţia ? algoritmul de determinare a funcţiei
- existenţa şi unicitatea funcţiei spline ⇔ existenţa şi unicitatea seturilor de coeficienţi:
4 ⋅n coeficienţi de determinat
se utilizează condiţiile din definiţia funcţiilor spline:
(C1) condiţii de interpolare:
(C2) condiţii de continuitate a funcţiei sΔ(x):
relaţii
relaţii

METODE NUMERICE – curs 10
(C3) condiţii de continuitate a funcţiei s’Δ(x):
relaţii
(C4) condiţii de continuitate a funcţiei s’’Δ(x):
relaţii
(C5) condiţii suplimentare → funcţii spline cubice naturale
relaţii
relaţii
polinoamele de racord în punctele x0 şi xn sunt polinoame de gradul întâi sau se comportă în vecinătatea punctelor x0 şi xn ca polinoame de gradul întâi

METODE NUMERICE – curs 10
Observaţii:
funcţiile spline cubice naturale au proprietatea că au cea mai mică curbură:
prin condiţiile de racordare în noduri impuse funcţiei şi derivatelor sale, funcţiile spline cubice naturale sunt cele mai netede funcţii care interpolează funcţia f
7.3 Aproximarea polinomială în medie pătratică
⮚ Problema este de a determina un polinom de gradul :
- notaţii:

METODE NUMERICE – curs 10
⮚ aproximare în medie pătratică → se minimizează, în raport cu setul de coeficienţi , funcţia criteriu definită prin:
minimizare