Слайд 2Перейдем к обозначениям, принятым в булевой записи
![Перейдем к обозначениям, принятым в булевой записи](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-1.jpg)
Слайд 3Дж. Буль –основатель логики
Операция, заданная на некотором множестве, называется бинарной, если
![Дж. Буль –основатель логики Операция, заданная на некотором множестве, называется бинарной, если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-2.jpg)
она действует на два элемента этого множества и её результатом является элемент этого же множества.
Операция, заданная на некотором множестве, называется унитарной, если она действует на один элемент множества и её результатом является элемент этого же множества.
Булева алгебра есть множество В, содержащее специальные элементы 1 и 0, на котором заданы бинарные операции +
Слайд 4Для всех x, y, z из В должны выполняться аксиомы
![Для всех x, y, z из В должны выполняться аксиомы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-3.jpg)
Слайд 5
1 – единичный элемент (единица),
0 – нулевой элемент (ноль),
– дополнение
![1 – единичный элемент (единица), 0 – нулевой элемент (ноль), – дополнение х.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-4.jpg)
х.
Слайд 6Теорема. Для всех элементов х и у булевой алгебры выполняются соотношения:
![Теорема. Для всех элементов х и у булевой алгебры выполняются соотношения:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-5.jpg)
Слайд 9Теорема. (Закон единственности дополнения) Дополнение произвольного элемента х булевой алгебры единственным образом
![Теорема. (Закон единственности дополнения) Дополнение произвольного элемента х булевой алгебры единственным образом определяется его свойствами: Доказательство:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-8.jpg)
определяется его свойствами:
Доказательство:
Слайд 11Теорема. Для всех элементов х и у булевой алгебры имеют место соотношения:
![Теорема. Для всех элементов х и у булевой алгебры имеют место соотношения:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-10.jpg)
Слайд 12Доказательство (а):
х – дополнение х’ . В соответствии с законом единственности дополнения
![Доказательство (а): х – дополнение х’ . В соответствии с законом единственности дополнения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-11.jpg)
Слайд 13Каждая теорема обладает двойственностью.
Замена
Первый закон де Моргана
![Каждая теорема обладает двойственностью. Замена Первый закон де Моргана](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-12.jpg)
Слайд 17Подмножества произвольного множества А образуют булеву алгебру
![Подмножества произвольного множества А образуют булеву алгебру](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-16.jpg)
Слайд 18 Теорема. Нулевой элемент 0 и единичный элемент 1 определены своими свойствами
![Теорема. Нулевой элемент 0 и единичный элемент 1 определены своими свойствами единственным](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1061849/slide-17.jpg)
единственным образом.
Определение. Множество называется коконечным, если его дополнение конечно.
Теорема. Пусть универсальное множество U есть множество всех конечных и всех коконечных подмножеств множества положительных целых чисел. Подмножество U вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения образуют булеву алгебру.