Трапеция. Свойство углов равнобедренной трапеции

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной

Свойство углов равнобедренной трапеции
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции

M – середина АВ,
N – середина CD
MN – средняя линия трапеции MN II BC, MN II AD

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция Доказать: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C

Доказательство:
E
1. Проведём СЕ||АВ.
СЕ||АВ и ВС||АD ⇒
ABCЕ – параллелограмм

Доказательство:
E
2. АВ=CD и АВ=СЕ ⇒
1
2
⇒ ΔCDЕ – равнобедренный ⇒
CD=СЕ ⇒
⇒∠1=∠2

Доказательство:
E
3. АВ||CЕ ⇒
1
2
3
∠1=∠3 (соотв.)
∠1=∠3 и ∠1=∠2 ⇒
⇒ ∠2=∠3 ⇒ ∠А=∠D

Доказательство:
E
4. ∠АВC = 1800 – ∠А
1
2
3
∠ВCD = 1800 – ∠D
∠А=∠D
∠АВC = ∠ВCD

Свойство диагоналей равнобедренной трапеции
В равнобедренной трапеции диагонали равны

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция Доказать: АС = ВD

Доказательство:
1. Рассм. ΔАВС и ΔВCD
АB=CD – по опр. равноб. трап.
∠АВС =∠BCD по св. углов трап.
ВС – общая

Доказательство:
2. ΔАВС = ΔВCD по 2 сторонам и углу между ними ⇒ АC = BD
(чтд)

Свойства равнобедренной трапеции
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны
В равнобедренной трапеции диагонали равны

Признаки равнобедренной трапеции
Если углы при каждом основании трапеции равны, то она равнобедренная
Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная

Задача 1
Найдите углы М и Р трапеции MNPQ с основаниями MQ и NP, если ∠N = 1090, а ∠Q = 370