Содержание

Слайд 2

Содержание

Что такое матрица?
Карл Фридих Гаусс
Метод Гаусса
Габриэль Крамер
Метод Крамера
Вывод
Использованные источники информации

Содержание Что такое матрица? Карл Фридих Гаусс Метод Гаусса Габриэль Крамер Метод

Слайд 3

Матрица Определение

Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n

Матрица Определение Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк
– столбцов, вида:
называется матрицей размера m × n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
 Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:

Слайд 4

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855,

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг — 23 февраля 1855,
Гёттинген) Биография

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец — садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двухлетнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом. В три года он умел читать и писать. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат 50х101=5050 .
После 1801 года Гаусс включил в круг своих интересов естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера ,вскоре после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс проделал (за несколько часов) сложнейшие вычисления по новому, открытому им же методу, и указал место, где искать беглянку; там она, к общему восторгу, и была вскоре обнаружена.
Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене.

Слайд 5

Метод Гаусса

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это

Метод Гаусса Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений.
метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j - коэффициенты при неизвестных.
bi - свободные члены (или правые части)

Слайд 6

Типы уравнений
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной,

Типы уравнений Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и
если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Слайд 7

Элементарные преобразования
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
перемена местами двух любых уравнений;
умножение обеих

Элементарные преобразования К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее: перемена местами двух любых
частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.

Слайд 8

Общий случай

Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с

Общий случай Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений
тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого. Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
где
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
Система примет вид:
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.

(1)

(2)

(3)

Слайд 9

2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения

2-ой шаг метода Гаусса На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего
системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
где
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
Предполагая, что находим

(4)

Слайд 10

В результате преобразований система приняла вид:
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы

В результате преобразований система приняла вид: Система вида (5) называется треугольной. Процесс
(1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.
(5)

Слайд 11

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b,

Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b,
где b ≠ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
Такая система имеет единственное
решение, которое находится в
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное
множество решений.

Слайд 12

Рассмотрим на примере

Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
Поделим первое

Рассмотрим на примере Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
Тогда

x3=-42/(-14)=3;
x2=8-2x3=2
x1=8-0,5x2-2x3=1

Слайд 13

Метод Крамера
Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем

Метод Крамера Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым
основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

Слайд 14

Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) Биография

Крамер родился

Габриэль Крамер (31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция) Биография
в семье франкоязычного врача. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на вакантную должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета.
1727: Крамер 2 года путешествовал по Европе, заодно перенимая опыт у ведущих математиков — Иоганна Бернулли и Эйлера,Галлея и де Муавра, Мопертюи и Клеро.
В свободное от преподавания время Крамер пишет многочисленные статьи на самые разные темы: геометрия, история математики, философия, приложения теории вероятностей.
1751: Крамер получает серьёзную травму после дорожного инцидента с каретой. Доктор рекомендует ему отдохнуть на французском курорте, но там его состояние ухудшается, и 4 января 1752 года Крамер умирает.

Слайд 15

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у

Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.е. такую, у
которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
… …
an1x1+an2x2+…+annxn=bn

Теорема. Cистема

Слайд 16

Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы

Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы
отличен от нуля:

a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… …
an1 an2 … ann

≠ 0

Слайд 17

В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера

Слайд 18

Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A)

Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой
заменой его k-го столбца на столбец правых частей

Пример. Решить систему уравнений :

Слайд 19

Решение.

Решение.

Слайд 20

Найдите оставшиеся компоненты решения.

Формулы Крамера не представляют практического значения в случае

Найдите оставшиеся компоненты решения. Формулы Крамера не представляют практического значения в случае
систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают явное представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат
Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не равно 0 .

Слайд 21

Найдите оставшиеся компоненты решения.

Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной

Найдите оставшиеся компоненты решения. Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной
эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра.
зависящей от параметра , определить предел отношения компонент решения:

Слайд 22

Решение.

В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера

Решение. В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера
система совместна при . Для случая применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде

и, хотя при каждая из них имеет бесконечный предел, их отношение стремится к пределу конечному.

Слайд 23

Ответ.

Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая

Ответ. Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая
от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».

Слайд 24

Вывод

Рассмотренный в данной презентации Метод Крамера позволяет решать линейные системы, но удобнее

Вывод Рассмотренный в данной презентации Метод Крамера позволяет решать линейные системы, но
решать системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса, который находит широкое применение и содержится в пакетах стандартных программ для ЭВМ.
Имя файла: Матрицы.pptx
Количество просмотров: 46
Количество скачиваний: 0