Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Функция
1.1. Некоторые математические символы.
Для краткой записи – кванторы.
1. => - квантор следования. (α => β – означает: из α следует β)
2. ⬄ - квантор эквивалентности (α эквивалентно β). В формулировке теорем символ соответствует словам «необходимо и достаточно» или «тогда и только тогда».
3. ∀ - квантор общности. Запись (∀х:α) означает: « для любого х справедливо утверждение α.

4. ∃ - квантор существования. Запись (∀х:α) означает: существует по крайней мере один такой Х для которого справедливо предложение α.
1.2. Множества
Множество – первоначальное понятие. A,B,C,…X,Y,Z.
Элементы множества: a,b,c,..x,y,z.
Конечное множество.
Бесконечное множество.
Пустое множество ∅

Элемент принадлежит данному множеству:
α∈А, элемент не принадлежит данному множеству: α∉А.
Пересечение и объединение множеств.
Вещественные числа.
Целые положительные числа 1,2,3,4… образуют мн-во натуральных чисел. N.

Все числа вида
а также 0 образуют мн-во рациональных чисел: С.
Иррациональные числа: Q
Множество вещественных чисел:
геометрически изображаются точками на числовой оси. Ось: прямая, указано положительное направление, начало отсчета и отрезок, длина кот. принята за единицу длины.

Абсолютная величина вещественного числа
Модуль.
определяется соотношениями:
-х= x=
x
x<0 x>0
Геометрически: модуль х – расстояние от точки х до 0

Из определения:
Независимо от взаимного расположения точек – модуль представляет собой расстояние между ними.
Промежутки. Окрестности.
Открытый интервал – (а,в) или ]a,b[ это множество вещественных чисел, удовл.усл.

Замкнутый интервал: [a,b],
Полуоткрытые интервалы.
Это конечные промежутки.
Бесконечные промежутки:
Множество вещественных чисел R обозначается символом:
Далее:

Окрестность точки: числовое множество
Пусть
По определению:
Геометрически – это отрезок длины
с серединой в точке а без включения концевых точек. Конечная точка.
а- а а+ R

Введем три бесконечные точки, определив их окрестности.
1).
0

Левая и правая окрестности. По определению:
Функция
Определение. Если каждому элементу х∈Х ставится в соответствие единственный элемент у∈Y, то это соответствие называется функцией (отображением), определённой на множестве Х со значениями в множестве Y. Элемент х называется аргументом, а множество Х – областью определения функции f(х). Элемент у, поставленный в соответствие элементу х называется значением функции f в точке х. Обозначение: у = f(х).

К основным элементарным функции относятся:
степенная функция y = xα, α ∈ R, α ≠0;
показательная функция у =ах, а > 0, а ≠ 1;
логарифмическая функция у = logах, а > 0, а ≠ 1;
тригонометрические функции y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx;

обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Продолжение.

Продолжение.

arctgx, arcctgx:
Если у = f(и), и = ϕ(x), то функция y = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функции, суперпозицией функций) аргумента х; аргумент u функции f называется промежуточным. Например, если и U=sinx
то суперпозицией этих функций является .

Свойства функций.
Функция называется чётной, если f(–x) = f (x), и нечётной, если f (–x) = – f (x). Например, x, x3, 1/x, sinx, tgx, ctgx, arcsinx, arctgx (cм.рис.) – нечётные функции, а x2, cosx – чётные функции.
Функция f(x) называется возрастающей на Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.
∀х1, х2 ∈Х, х1 < х2 ⇒ f(x1) < f(x2),
и убывающей на Х, если
∀х1, х2 ∈Х, х1 < х2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Если неравенства нестрогие, то функции называются соответственно неубывающей и невозрастающей. Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие на Х функции называются монотонными. Например, ах, logах (см. рис.) – монотонные функции, возрастающие при а > 1 и убывающие при 0 < а < 1.
Функция f(x) называется ограниченной на Х, если существует число М > 0, при котором выполняется
< М для ∀х∈Х. Например, sinx, cosx (см. рис.), arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx – ограниченные функции.

Функция f(x) называется периодической, если существует Т > 0, при котором выполняется f(х + Т) = f(x) для всех х ∈ R. Т – период функции, число nТ также является ее периодом.
Рациональные и дробно-рациональные функции
Целая рациональная функция (многочлен, полином) имеет вид
n ∈ N.
Если a является корнем многочлена, то