Дифференциальные уравнения

4 Дифференциальные уравнения
4.1 Основные понятия
Всякое уравнение, содержащее, по крайней мере, одну производную неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением.
В общем виде дифференциальное уравнение можно записать в виде
где F – некоторая функция от n+2 переменных, y – некоторая функция от x, n≥1.
Порядок n старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.
Если из уравнения в общем виде выразить в явном виде старшую производную, то получим уравнение вида
называемое уравнением, разрешённым относительно старшей производной.

Функция y=φ(x) называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки y=φ(x).
Обычно дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для выделения из множества решений отдельного, называемого частным решением, необходимо задавать дополнительные условия в виде
Задача нахождения решения, удовлетворяющего дополнительным условиям, называется задачей Коши, а решение уравнения – решением задачи Коши.
4 Дифференциальные уравнения
4.1 Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет общий вид
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно , имеет вид
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, можно также записать в дифференциальной форме:
где P(x,y), Q(x,y) – известные функции.
4 Дифференциальные уравнения
4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка

Условие y(x0)=y0 называется начальным условием.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y=φ(x,C), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:
– функция φ(x,C) является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированным значении С;
– каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной C=C0, что функция y=φ(x,C0), удовлетворяет заданному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y=φ(x,C0), полученная из общего решения при конкретном значении постоянной C=C0.
4 Дифференциальные уравнения
4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида называется
дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.
Алгоритм решения
1. Перенесём Q(y)dy в правую часть уравнения:
2. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:
4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Пример 1 Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение.
Заменим C1=eC, тогда общее решение исходного дифференциального уравнения примет вид:

Более общий случай описывают дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид .
Алгоритм решения
1. Перенесём в правую часть уравнения:
2. Разделим переменные, используя пропорцию:
3. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:
4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Пример 2 Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.
Интеграл в левой части уравнения является простым табличным, а интеграл, полученный в правой части уравнения, решим отдельно.

Таким образом, уравнение примет вид:
Заменим получим
Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
Ответ:
4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Также уравнение с разделяющимися переменными может иметь вид .
Алгоритм решения
1. Заменим , получим уравнение вида
2. Разделим переменные, используя пропорцию:
3. Проинтегрируем левую и правую части уравнения:
4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Пример 3 Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение.

Замечание: в случае, когда в левой и правой частях дифференциального уравнения интегралы обращаются в логарифмические функции, необходимо прибавлять не постоянную С, а постоянную lnC. Это позволяет упростить ответ, воспользовавшись такими свойствами логарифмов, как
(b≠0).
Возвращаясь к нашему дифференциальному уравнению, получим
Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
Ответ:
4.2.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка Pdx+Qdy=0 называется линейным, если отношение
содержит лишь в первой степени (линейно). Линейное уравнение принято записывать в виде .
Алгоритм решения
1. Воспользуемся подстановкой y=UV, где U и V –функции от переменной х, тогда .
Получим уравнение вида .
2. Первое слагаемое переписываем, а из второго и третьего выносим общий множитель U за скобки, то есть получим равенство .
4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

3. Обнуляем скобку, получая при этом новое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными вида , из которого находим неизвестную переменную V (используя замену ).
Замечание 1: постоянную C принимаем за ноль.
4. В уравнение из пункта 2, заменяя выражение
нулём, получим уравнение вида . Подставляя в него значение V, найденное в пункте 3 и замену , находим неизвестную переменную .
Замечание 2: постоянную C писать обязательно.
4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

5. Общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка находится путём подстановки в y=UV значения переменных U и V, найденные в пунктах 4 и 3 соответственно.
Замечание 3: если в задании имеется дополнительное условие вида y(x0)=y0 (задача Коши), то может быть найдено частное решение, удовлетворяющее данному условию. Для его нахождения достаточно подставить в общее решение замены x=x0, y=y0, после чего найти конкретное значение постоянной C=C0. Подставляя это значение в общее решение дифференциального уравнения, получаем искомое частное решение.
4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Пример 4 Найти решение задачи Коши
y(0)=2.
Решение.
4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Общее решение найдём из замены y=UV:
Частное решение найдём, используя условие y(0)=2. Подставим x=0, y=2 в общее решение:

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка также может иметь вид .
Решение аналогично, только подстановка в этом случае следующая:
x=UV, ,
где , .
4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Пример 5 Найти решение задачи Коши
Решение.

4.2.2 Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Общее решение найдём из замены x=UV:
Частное решение найдём, используя условие
Подставим , y=1 в общее решение:

4.2.3 Дифференциальные уравнения Бернулли
Дифференциальное уравнение вида
(или ),
где n≠0, n≠1 называется уравнением Бернулли.
Схема решения уравнений Бернулли аналогична решению линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

4.2.3 Дифференциальные уравнения Бернулли
Пример 6 Найти решение задачи Коши
Решение.

4.2.3 Дифференциальные уравнения Бернулли
Общее решение найдём из замены y=UV:
Частное решение найдём, используя условие
Подставим x=e2, y=e8 в общее решение: