Доказательство неравенств. Решение задач на доказательство неравенств

Решение задач на доказательство неравенств.
При решении задач на доказательство неравенств или равенств часто применяются следующие способы:

Использование формул о среднем арифметическом и среднем геометрическом неотрицательных чисел.
Среднее арифметическое неотрицательных чисел.
Среднее геометрическое неотрицательных чисел.

Пример использования формул.
Доказать справедливость неравенства
xу + уz + zx > x + y + z
Для всех положительных х, у, z.
__
__
__
z
x
y
_

Доказательство:
1) Применим формулу
Истинную для всех положительных значений a, b.
xy + yz
; ;
;
z
x
______
__
__
2
>
_
√
xy
. yz
__
__
______
z
x
√
xy
__
z
. yz
__
x
______
=
y
xy + zy
__
__
z
x
______
2
>
_
y

Аналогично:
;
;
Почленным сложением получившихся неравенств получим истинность первоначального неравенства.
xy + zx
__
__
z
y
______
2
>
_
x
zy + zx
__
__
x
y
______
2
>
_
z

Применение принципа математической индукции.
Математическая индукция — в математике — один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Пример математической индукции.
Доказать, что, каковы бы ни были натуральное n и вещественное q ≠ 1, выполняется равенство:

Доказательство.
Индукция по n. База, n = 1:
Переход: предположим, что
тогда
Что и требовалось доказать.

Использование неравенств вида:

Пример использования данных неравенств.
Доказать справедливость неравенства
(x+2)(y+2)(x+y)≥16xy
При х>0 и y>0

Неравенство, которое нам дано равносильно следующему:
x+2 y+2 x+y
Преобразуем каждый сомножитель левой части полученного выражения:
x + 2 = √x + 2 = √2 (√x + √2 );
√2 (√x + √2 )> 2√2;
____
. ____
. ____
√
√
√
__
__
__
x
y
xy
>
_
16
_____
__
__
__
_
_
_
_
√x
√x
√x
√2
_
_
_
_
_
_
_
__
__
√x
√2
_
_
_
_

Второй и третий множитель аналогично:
y + 2 > 2√2;
x + y
При почленном умножении получившихся неравенств получим:
x+2 y+2 x+y
_____
_
√y
__
_
____
√xy
__
>
_
2
____
. ____
. ____
√x
√y
√xy
__
__
_
>
_
16
Что и требовалось доказать.

Метод неопределённого неравенства.
Неравенство называется неопределённым, если у него знак \/ или /\ , т.е. когда мы не знаем в какую сторону следует повернуть этот знак, чтобы получить справедливое неравенство.
Здесь действуют те же правила доказательства, что и с обычными неравенствами.

Пример неопределенного неравенства.
Доказать справедливость неравенства.
a + 1 > 2
где a – положительное число.
_
a
_

Доказательство:
Умножая обе части неравенства на a , получим:
a 2 + 1 \/ 2a
Перенесем все в левую часть:
а 2 + 1 – 2a \/ 0
Получаем формулу: Квадрат разности:
( a – 1 ) 2 \/ 0
Так как квадрат любого числа всегда положительный, следовательно
( a – 1)2>0
Значит и первоначальное выражение истинно, что и требовалось доказать.
_

Задачи на самостоятельное рассмотрение.

№1
Доказать неравенство:
Х(1+У) + У(1+Z) + Z(1+x) > 6 √xyz
Для всех неотрицательных х, у, z.
_
___

Доказательство:
Левую часть представим в виде:
(x+yz) + (y+zx) + (z+xy)
Теперь применим формулу:
X + yz> 2 √xyz
Y + zx> 2 √xyz
Z+ xy > 2 √xyz
___
___
___
_
_
_
Почленным сложением полученных неравенств убеждаемся в истинности первоначального неравенства.

№2
Доказать справедливость неравенства х2+у2+z2>12 для неотрицательных значений х, у, z, если х + у + z=16.
_

Доказательство
Из истинности неравенств:
x2+y2≥2xy; x2+z2≥2xz; y2+z2≥2yz;
Следует:
2(х2+у2+z2)≥2xy + 2xz + 2yz
Возведем обе части равенства в квадрат:
Х2+у2+z2+2(xy+xz+yz)=36
Преобразуем:
1)3(х2+у2+z2) = (х2+у2+z2)+2(х2+у2+z2);
2)(х2+у2+z2) + 2xy + 2zx + 2yz = 36;

Следовательно получаем:
3(х2+у2+z2) ≥ 36.
х2+у2+z2 ≥ 12.
Что и требовалось доказать.

№3
Доказать справедливость неравенства (х3+х2+х+1)2>16х3
для всех х [0;∞).
_