Формулы сложения. 10 класс

Повторение
M1 (cos α; sin α)
M2 (cos(-α); sin(-α))
sin(-α) = ?
cos(-α) = ?
tg(-α) = ?
ctg(-α) = ?
sin2(α) + cos2(α) = ?
sin(-α) = -sin α
cos(-α) = cos α
tg(-α) = sin(-α)/cos(-α) =
= (-sin α)/cos α = -tg α
ctg(-α) = - ctg α
sin2(α) + cos2(α) = 1
x
y
P (1;0)
0
α
-α
M2
M1
cos α
sin(-α)
sin α

Формулы сложения
Формулами сложения называют формулы, выражающие cos(α ± β) и sin(α ± β) через косинусы и синусы углов α и β.
cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Теорема
Для любых α и β справедливо равенс-
тво cos(α + β) = cos α cos β –
- sin α sin β
По определению:
Mα (cos α; sin α)
M-β (cos(-β); sin(-β))
Mα+β (cos(α+β); sin(α+β))
∠M0OMα+β = ∠M-βOMα
⇒ △M0OMα+β = △M-βOMα
⇒ основания M0Mα+β = M-βMα равны
А значит равны (M-βMα)2 и (M0Mα+β)2, запишем их
x
y
M0(1;0)
0
Mα
M-β
Mα+β

Теорема
Имеем:
M0 (1; 0)
Mα (cos α; sin α)
M-β (cos(-β); sin(-β))
Mα+β (cos(α+β); sin(α+β))
(M0Mα+β)2 = (M-βMα)2
⇒ (1 - cos(α+β))2 +(sin(α+β))2 = (cos(-β) - cos α)2 +
+ (sin(-β) - sin α)2
⇔ 1 - 2cos(α+β) + cos2(α+β) + sin2(α+β) = cos2 β -
- 2cos β cos α + cos2 α + sin2 β + 2sin β sin α + sin2 α
⇔ 2 - 2cos(α+β) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β
⇔ cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β
Теорема доказана.

Следствие 1
cos(α - β) = ?
cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos α cos(-β) - sin α sin(-β)=
= cos α cos β + sin α sin β
cos(π/2 – α) = sin α
sin(π/2 – α) = cos α
cos(π/2 – α) = cos(π/2) cos α + sin(π/2) sin α = sin α
т.е. cos(π/2 – α) = sin α
При α = π/2 – β имеем:
cos(π/2 – α) = cos(π/2 – π/2 + β) = cos β = sin α = sin(π/2 – β)
т.е. sin(π/2 – β) = cos β

Следствие 1
sin(α + β) = cos (π/2 - (α + β)) = cos((π/2 - α) - β) =
= cos(π/2 - α) cos β + sin(π/2 - α) sin β =
= sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin(α + (-β))= sin α cos(-β) + cos α sin(-β)=
= sin α cos β - cos α sin β
Таким образом,
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Следствие 2
Можно вывести аналогичные формулы для tg(α ± β) и ctg(α ± β).
tg(α ± β) = sin(α ± β) / cos(α ± β) =
=(sin α cos β±cos α sin β)/(cos α cos β ∓ sin α sin β)=
= (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α tg β)
Аналогично
ctg(α ± β) = (ctg α ctg β ∓ 1) / (ctg β ± ctg α)