Генеральная и выборочная совокупность. Несмещенная оценка. Выборочная средняя. Условные варианты

Генеральная и выборочная совокупность
Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.
Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N
Выборочная совокупность – это совокупность случайно отобранных объектов.
Объем выборочной совокупности обозначается n

Пример
С завода на склад поступило 10 тыс. деталей. Необходимо исследовать их на наличие дефектов. Все детали исследовать нет возможности. Поэтому выбирают случайным образом 100 деталей и тщательно обследуют их. По выбранным деталям делают вывод обо всех деталях.
Что является генеральной совокупностью и выборочной совокупностью?
Генеральная совокупность – это все 10 тыс. деталей, а выборочная совокупность – это 100 обследованных деталей.

Точечные оценки
Необходимо определить значение неизвестного параметра ? распределения случайной величины X по выборке x1, x2, . . . , xn.
Определение. Функцию ? * = ? * (x1, x2, . . . , xn) называют точечной оценкой (статистикой) параметра ?, если мы принимаем ? ≈ ? * .
Точечной называют оценку, определяющуюся одним числом

Интервальные оценки
Интервальной оценкой называют оценку, определяющуюся двумя концами интервала.
При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться другими оценками. Интервальные оценки позволяют определить точность и надежность оценок.

Несмещенная оценка
Несмещенная оценка – это точечная оценка математического ожидания, которая равна оценивающему параметру.
Оценка ?* называется несмещенной, если M(?* ) = ?. В противном случае оценка называется смещенной.
Разность d(?* ) = M(?* ) − ? называется смещением оценки ? *.

Генеральная средняя
Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя
Выборочная средняя

Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n, заданная вариантами Хi и соответствующими им частотами. Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Объем данной выборки равен
.
Далее по формуле вычисляем несмещенную оценку генеральной средней:

Условные варианты
Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т. е. в виде вариационного ряда.
Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h.
Условными называют варианты, определяемые равенством
ui=(xi-C)/h,
где С—ложный нуль (новое начало отсчета); h — шаг, т. е. разность между любыми двумя соседними первоначальными.

Условными называют варианты, определяемые равенством
ui=(xi-C)/h,
где С—ложный нуль (новое начало отсчета); h — шаг, т. е. разность между любыми двумя соседними первоначальными.
Замечание 1. В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Максимальная простота вычислений достигается, если выбрать в качестве ложного нуля варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (часто такая варианта имеет наибольшую частоту).
Замечание 2. Варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Пример. Найти условные варианты статистического распределения: варианты . . . 23,6 28,6 33,6 38,6 43,6 частоты ... 5 20 50 15 10
Решение. Выберем в качестве ложного нуля варианту 33,6 (эта варианта расположена в середине вариационного ряда).
Найдем шаг:
h = 28,6 —23,6 = 5.
Найдем условную варианту:
u1=(xi-C)/h= (23,6 —33,6)/5 = -2.
+Аналогично получим: u2= - 1, u3 = 0, u4 =1, u5 = 2.

Генеральная дисперсия
Генеральной дисперсией Dг называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения.

Выборочная дисперсия
Выборочная дисперсия – это среднее арифметическое значений вариантов части отобранных объектов генеральной совокупности (выборки).

Выборочная дисперсия при различии всех значений варианта выборки находится по формуле:
Для значений признаков выборочной совокупности с частотами n1, n2,…,nk формула выглядит следующим образом:

Квадратный корень из выборочной дисперсии характеризует рассеивание значений вариантов выборки вокруг своего среднего значения. Данная характеристика называется выборочным средним квадратическим отклонением и имеет вид:

Пример 1
Найти выборочную дисперсию выборки со значениями:
xi: 1, 2, 3, 4;
ni: 20, 15, 10, 5.
Решение:
Для начала необходимо определить выборочную среднюю:
Затем найдем выборочную дисперсию:
Чему будет равно среднее квадратическое отклонение?
1

Исправленная дисперсия
Исправленная дисперсия используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии и обозначается S2.
Среднеквадратическая генеральная совокупность оценивается при помощи исправленного среднеквадратического отклонения, которое вычисляется по формуле:
Математическое ожидание выборочной дисперсии вычисляется так:
DГ – это истинное значение дисперсии генеральной совокупности.

Пример
Длину стержня измерили одним и тем же прибором пять раз. В результате получили следующие величины: 92 мм, 94 мм, 103 мм, 105 мм, 106 мм. Задача найти выборочную среднюю длину предмета и выборочную исправленную дисперсию ошибок измерительного прибора.
Решение
Сначала вычислим выборочную среднюю:
Затем найдем выборочную дисперсию:
Теперь рассчитаем исправленную дисперсию:

Выборочная совокупность задана следующей таблицей распределения:
Найдем для нее выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.
Решение: Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:

Асимметрия. Эксцесс.
Вычисление асимметрии и эксцесса позволяет установить симметричность распределения случайной величины X относительно M(X)=1.
Для этого находят центральный элемент , характеризующий асимметрию закона распределения. Если он равен нулю, то величина симметрично распределена относительно мат. ожидания.
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс:

Пример