Геометрические места точек. (7 класс)

Содержание

Слайд 2

Авторский сайт: vasmirnov.ru

Авторский сайт: vasmirnov.ru

Слайд 5

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному
свойству или нескольким заданным свойствам.

Геометрические места точек

Параграф 19

Слайд 6

Серединный перпендикуляр

Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов

Серединный перпендикуляр Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от
этого отрезка.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и O – его середина. Если точка С одинаково удалена от точек А, В и принадлежит прямой AB, то она должна совпадать с точкой O.

Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB. Если C совпадает с точкой О, то она равноудалена от концов отрезка AB. Если C не совпадает с точкой O, то прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.

Если C не принадлежит прямой AB, то треугольник АВС равнобедренный и его медиана СО является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB.

Слайд 7

Построение серединного перпендикуляра с использованием программы GeoGebra

Построение серединного перпендикуляра с использованием программы GeoGebra

Слайд 8

Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.

Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.

Слайд 9

На прямой c отметьте точку, равноудаленную от точек A, B.

На прямой c отметьте точку, равноудаленную от точек A, B.

Слайд 10

Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.

Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.

Слайд 11

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Слайд 12

Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.

Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.

Слайд 13

Для данных точек A и B найдите ГМТ точек, D расстояние от

Для данных точек A и B найдите ГМТ точек, D расстояние от
которых до точки A меньше чем расстояние до точки B.

Слайд 14

Решение. Докажем, что искомым ГМТ является полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку

Решение. Докажем, что искомым ГМТ является полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку
AB, содержащая точку A, без этого серединного перпендикуляра.
Пусть D – внутренняя точка этой полуплоскости. Проведём отрезок AB. Обозначим C точку его пересечения с серединным перпендикуляром c. Воспользуемся неравенством треугольника, применённому к треугольнику ACD. Имеем AD < AC + CD = BC + CD = BD.

Аналогичным образом доказывается, что для внутренних точек E полуплоскости, ограниченной серединным перпендикуляром и содержащей точку B, выполняется неравенство AE > BE.

Следовательно, искомым ГМТ является полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A, без этого серединного перпендикуляра.

Слайд 15

Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Укажите геометрическое место

Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Укажите геометрическое место
точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет?

Слайд 16

(*). Для данных точек A и B изобразите ГМТ, удалённых от A

(*). Для данных точек A и B изобразите ГМТ, удалённых от A
на расстояние, в 2 раза большее, чем расстояние от точки B.

Слайд 17

Биссектриса угла

Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны

Биссектриса угла Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС
(по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла.
Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.

Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b.

Слайд 18

Построение биссектрисы с использованием программы GeoGebra

Построение биссектрисы с использованием программы GeoGebra

Слайд 19

Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.

Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.

Слайд 20

На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

Слайд 21

Найдите геометрическое место точек, одинаково удаленных от двух пересекающихся прямых a и

Найдите геометрическое место точек, одинаково удаленных от двух пересекающихся прямых a и
b

Ответ. Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми;

Слайд 22

Для двух данных пересекающихся прямых a и b найдите геометрическое место точек,

Для двух данных пересекающихся прямых a и b найдите геометрическое место точек,
расположенных ближе к a чем к b

Слайд 23

Найдите геометрическое место центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых.

Найдите геометрическое место центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых.

Слайд 24

(*) Найдите ГМТ, равноудалённых от сторон угла AOB.

(*) Найдите ГМТ, равноудалённых от сторон угла AOB.

Слайд 25

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, равноудаленных от данной точки F и

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, равноудаленных от данной точки F и
данной прямой d. Соедините их плавной кривой.

Параграф 21*

Слайд 26

Определение параболы

Пусть на плоскости задана прямая d и точка F, не принадлежащая

Определение параболы Пусть на плоскости задана прямая d и точка F, не
этой прямой. Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F, называется параболой. Прямая d называется директрисой, а точка F - фокусом параболы.

Слайд 27

Рисуем параболу

Параболу можно нарисовать с помощью линейки, угольника, кнопок, нитки и карандаша.

Рисуем параболу Параболу можно нарисовать с помощью линейки, угольника, кнопок, нитки и карандаша.

Слайд 28

Построение параболы с использованием программы GeoGebra

Построение параболы с использованием программы GeoGebra

Слайд 29

Изобразите ГМТ A’, для которых расстояние до фокуса меньше расстояния до директрисы.

Изобразите ГМТ A’, для которых расстояние до фокуса меньше расстояния до директрисы.

Слайд 30

Изобразите ГМТ A”, для которых расстояние до фокуса больше расстояния до директрисы.

Изобразите ГМТ A”, для которых расстояние до фокуса больше расстояния до директрисы.

Слайд 31

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через данную точку F, и касающуюся

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через данную точку F, и касающуюся данной прямой d.
данной прямой d.

Слайд 32

Что будет происходить с параболой, если фокус: а) удаляется от директрисы; б)

Что будет происходить с параболой, если фокус: а) удаляется от директрисы; б) приближается к директрисе?
приближается к директрисе?

Слайд 33

Касательная к параболе

Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не

Касательная к параболе Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и
перпендикулярная ее директрисе, называется касательной к параболе. Общая точка называется точкой касания.

Слайд 34

Построение касательной к параболе
с использованием программы GeoGebra

Построение касательной к параболе с использованием программы GeoGebra

Слайд 35

Теорема. Пусть A – точка на параболе с фокусом F и директрисой

Теорема. Пусть A – точка на параболе с фокусом F и директрисой
d, АD – перпендикуляр, опущенный на директрису. Тогда касательной к параболе, проходящей через точку A, будет прямая, содержащая биссектрису угла FAD.

Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

Слайд 36

Фокальное свойство параболы

Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразившись

Фокальное свойство параболы Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи,
от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.

Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т. д.

Слайд 37

Построение касательной

По данному рисунку укажите способ построения касательной к параболе, заданной фокусом

Построение касательной По данному рисунку укажите способ построения касательной к параболе, заданной
F и директрисой d, проходящей через точку C, с помощью циркуля и линейки.

Слайд 38

Через точку C проведите касательную к параболе, с заданным фокусом F и

Через точку C проведите касательную к параболе, с заданным фокусом F и директрисой d.
директрисой d.

Слайд 39

Через точку C проведите касательные к параболе, с заданным фокусом F и

Через точку C проведите касательные к параболе, с заданным фокусом F и
директрисой d. Отметьте точки касания.

Слайд 40

Через точку C проведите касательные к параболе, с заданным фокусом F и

Через точку C проведите касательные к параболе, с заданным фокусом F и
директрисой d. Отметьте точки касания.

Слайд 41

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний
от которых до точек F1 и F2 равна 6 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

Параграф 22*

Слайд 42

Определение эллипса

Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных

Определение эллипса Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух
точек F1, F2 есть величина постоянная, называется эллипсом. Точки F1, F2 называются фокусами эллипса.

Таким образом, для точек A эллипса с фокусами F1 и F2 сумма AF1 + AF2 постоянна и равна некоторому заданному отрезку c, большему F1F2.

Слайд 43

Рисуем эллипс

По данному рисунку укажите способ построения эллипса с помощью кнопок, нитки

Рисуем эллипс По данному рисунку укажите способ построения эллипса с помощью кнопок, нитки и карандаша.
и карандаша.

Слайд 44

Построение эллипса с использованием программы GeoGebra

Построение эллипса с использованием программы GeoGebra

Слайд 45

Для точек F1, F2 найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых

Для точек F1, F2 найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых
до точек F1, F2 а) меньше c; б) больше c.

Слайд 46

Что будет происходить с эллипсом, если константа c не изменяется, а фокусы:

Что будет происходить с эллипсом, если константа c не изменяется, а фокусы:
а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга?

Слайд 47

Касательная к эллипсу

Прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку, называется касательной

Касательная к эллипсу Прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку, называется
к эллипсу. Общая точка называется точкой касания.

Слайд 48

Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

Слайд 49

Фокальное свойство эллипса

Если источник света поместить в фокус эллипса, то лучи, отразившись

Фокальное свойство эллипса Если источник света поместить в фокус эллипса, то лучи,
от эллипса, соберутся в другом фокусе.

Слайд 50

Построение касательной к эллипсу с использованием программы GeoGebra

Построение касательной к эллипсу с использованием программы GeoGebra

Слайд 51

Построение касательной

По данному рисунку укажите способ построения касательной к эллипсу, заданному фокусами

Построение касательной По данному рисунку укажите способ построения касательной к эллипсу, заданному
F1, F2, проходящей через точку C, с помощью циркуля и линейки.

Слайд 52

Через точку C проведите касательную к эллипсу, с заданными фокусами F1, F2

Через точку C проведите касательную к эллипсу, с заданными фокусами F1, F2 и константой с.
и константой с.

Слайд 53

Через точку C проведите касательные к эллипсу, с заданными фокусами F1, F2

Через точку C проведите касательные к эллипсу, с заданными фокусами F1, F2 и константой с.
и константой с.

Слайд 54

Для заданных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для

Для заданных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для
которых периметр треугольника АВС равен постоянной величине с.

Слайд 55

Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами O1, O2

Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами O1, O2
и суммой радиусов c = R1 + R2 (c > O1O2).

Слайд 56

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, модуль разности

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, модуль разности
расстояний от которых до точек F1 и F2 равен 2 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.

Параграф 23*

Слайд 57

Гипербола

Геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных

Гипербола Геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух
точек F1, F2 есть величина постоянная, называется гиперболой. Точки F1, F2 называются фокусами гиперболы.

Таким образом, для точек А гиперболы с фокусами F1, F2 выполняется равенство: |AF1 - AF2| = c, где c – некоторое положительное число.

Слайд 58

Рисуем гиперболу

По данному рисунку укажите способ построения гиперболы с помощью линейки, кнопок,

Рисуем гиперболу По данному рисунку укажите способ построения гиперболы с помощью линейки, кнопок, нитки и карандаша.
нитки и карандаша.

Слайд 59

Построение гиперболы с использованием программы GeoGebra

Построение гиперболы с использованием программы GeoGebra

Слайд 60

Найдите геометрическое место точек A, для которых разность AF1 – AF2 расстояний

Найдите геометрическое место точек A, для которых разность AF1 – AF2 расстояний
до двух заданных точек F1, F2: а) больше заданной величины c; б) меньше заданной величины c.

Слайд 61

Касательная к гиперболе

Прямая, проходящая через точку А гиперболы, остальные точки A' которой

Касательная к гиперболе Прямая, проходящая через точку А гиперболы, остальные точки A'
лежат во внешней области, т. е. удовлетворяют неравенству A'F1 – A'F2 < c, называется касательной к гиперболе. Точка А называется точкой касания.

Слайд 62

Фокальное свойство гиперболы

Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то

Фокальное свойство гиперболы Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы,
лучи, отразившись от нее, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

Слайд 63

Построение касательной

По данному рисунку укажите способ построения касательной, проходящей через точку C,

Построение касательной По данному рисунку укажите способ построения касательной, проходящей через точку
к гиперболе, заданной фокусами F1, F2 и константой c, с помощью циркуля и линейки.

Слайд 64

Построение касательной к гиперболе с использованием программы GeoGebra

Построение касательной к гиперболе с использованием программы GeoGebra

Слайд 65

Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом двух заданных окружностей.

Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом двух заданных окружностей.

Слайд 66

Дана прямая c и точка O на расстоянии 2 от этой прямой.

Дана прямая c и точка O на расстоянии 2 от этой прямой.
Через точку O проводятся прямые, пересекающие прямую c в точках C. От точек C на этих прямых откладываются отрезки CA = CB = 4. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется конхоидой.

Слайд 67

Ответ.

Ответ.

Слайд 68

Дана прямая и точка O на расстоянии OP = 2 от этой

Дана прямая и точка O на расстоянии OP = 2 от этой
прямой. Через точку O проводятся прямые, пересекающие прямую c в точках C. От точек C на этих прямых откладываются отрезки CA = CB = CP. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется строфоидой.

Слайд 69

Ответ.

Ответ.

Слайд 70

Дана прямая и точка O на расстоянии OQ = 4 от этой

Дана прямая и точка O на расстоянии OQ = 4 от этой
прямой. С диаметром OQ проведена окружность. Через точку O проводятся прямые, пересекающие окружность в точках B и прямую c в точках C. От точек O на этих прямых откладываются отрезки OA = BC. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется циссоидой.

Слайд 71

Ответ.

Ответ.

Слайд 72

Дана окружность радиусом 2 и точка O, ей принадлежащая. Через точку O

Дана окружность радиусом 2 и точка O, ей принадлежащая. Через точку O
проводятся прямые, пересекающие окружность в точках C. От точек С на этих прямых откладываются отрезки СA = CB = 1. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется улиткой Паскаля.

Слайд 73

Ответ.

Ответ.
Имя файла: Геометрические-места-точек.-(7-класс).pptx
Количество просмотров: 141
Количество скачиваний: 18