Геометрические места точек. (7 класс)

Авторский сайт: vasmirnov.ru

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек, удовлетворяющих заданному свойству или нескольким заданным свойствам.
Геометрические места точек
Параграф 19

Серединный перпендикуляр
Теорема. Серединный перпендикуляр к отрезку является ГМТ, одинаково удаленных от концов этого отрезка.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.
Доказательство. Пусть дан отрезок АВ и O – его середина. Если точка С одинаково удалена от точек А, В и принадлежит прямой AB, то она должна совпадать с точкой O.
Обратно, пусть точка С принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB. Если C совпадает с точкой О, то она равноудалена от концов отрезка AB. Если C не совпадает с точкой O, то прямоугольные треугольники АОС и ВОС равны (по катетам). Следовательно, АС=ВС.
Если C не принадлежит прямой AB, то треугольник АВС равнобедренный и его медиана СО является также и высотой. Значит, точка С принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB.

Построение серединного перпендикуляра с использованием программы GeoGebra

Изобразите ГМТ, равноудаленных от точек A и B.

На прямой c отметьте точку, равноудаленную от точек A, B.

Отметьте точку, равноудаленную от точек A, B и C.

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

Найдите геометрическое место вершин С равнобедренных треугольников с заданным основанием AB.

Для данных точек A и B найдите ГМТ точек, D расстояние от которых до точки A меньше чем расстояние до точки B.

Решение. Докажем, что искомым ГМТ является полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A, без этого серединного перпендикуляра.
Пусть D – внутренняя точка этой полуплоскости. Проведём отрезок AB. Обозначим C точку его пересечения с серединным перпендикуляром c. Воспользуемся неравенством треугольника, применённому к треугольнику ACD. Имеем AD < AC + CD = BC + CD = BD.
Аналогичным образом доказывается, что для внутренних точек E полуплоскости, ограниченной серединным перпендикуляром и содержащей точку B, выполняется неравенство AE > BE.
Следовательно, искомым ГМТ является полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку AB, содержащая точку A, без этого серединного перпендикуляра.

Пусть А и В точки плоскости, c - прямая. Укажите геометрическое место точек прямой c, расположенных ближе к А, чем к В. В каком случае таких точек нет?

(*). Для данных точек A и B изобразите ГМТ, удалённых от A на расстояние, в 2 раза большее, чем расстояние от точки B.

Биссектриса угла
Если CA = CB, то прямоугольные треугольники АOС и ВOС равны (по гипотенузе и катету). Следовательно, углы AOC и BOC равны. Значит, точка C принадлежит биссектрисе угла.
Обратно, если точка C принадлежит биссектрисе угла, то прямоугольные треугольники AOC и BOC равны (по гипотенузе и острому углу). Следовательно, AC = BC. Значит, точка С одинаково удалена от сторон данного угла.
Доказательство. Рассмотрим угол c вершиной в точке О и сторонами а, b. Пусть точка С лежит внутри данного угла. Опустим из нее перпендикуляры СА и CB на стороны а и b.

Построение биссектрисы с использованием программы GeoGebra

Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудаленных от его сторон.

На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB.

Найдите геометрическое место точек, одинаково удаленных от двух пересекающихся прямых a и b
Ответ. Точки, принадлежащие биссектрисам четырех углов, образованных данными прямыми;

Для двух данных пересекающихся прямых a и b найдите геометрическое место точек, расположенных ближе к a чем к b

Найдите геометрическое место центров окружностей касающихся двух данных пересекающихся прямых.

(*) Найдите ГМТ, равноудалённых от сторон угла AOB.

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, равноудаленных от данной точки F и данной прямой d. Соедините их плавной кривой.
Параграф 21*

Определение параболы
Пусть на плоскости задана прямая d и точка F, не принадлежащая этой прямой. Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F, называется параболой. Прямая d называется директрисой, а точка F - фокусом параболы.

Рисуем параболу
Параболу можно нарисовать с помощью линейки, угольника, кнопок, нитки и карандаша.

Построение параболы с использованием программы GeoGebra

Изобразите ГМТ A’, для которых расстояние до фокуса меньше расстояния до директрисы.

Изобразите ГМТ A”, для которых расстояние до фокуса больше расстояния до директрисы.

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через данную точку F, и касающуюся данной прямой d.

Что будет происходить с параболой, если фокус: а) удаляется от директрисы; б) приближается к директрисе?

Касательная к параболе
Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не перпендикулярная ее директрисе, называется касательной к параболе. Общая точка называется точкой касания.

Построение касательной к параболе
с использованием программы GeoGebra

Теорема. Пусть A – точка на параболе с фокусом F и директрисой d, АD – перпендикуляр, опущенный на директрису. Тогда касательной к параболе, проходящей через точку A, будет прямая, содержащая биссектрису угла FAD.
Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

Фокальное свойство параболы
Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.
Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т. д.

Построение касательной
По данному рисунку укажите способ построения касательной к параболе, заданной фокусом F и директрисой d, проходящей через точку C, с помощью циркуля и линейки.

Через точку C проведите касательную к параболе, с заданным фокусом F и директрисой d.

Через точку C проведите касательные к параболе, с заданным фокусом F и директрисой d. Отметьте точки касания.

Через точку C проведите касательные к параболе, с заданным фокусом F и директрисой d. Отметьте точки касания.

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, сумма расстояний от которых до точек F1 и F2 равна 6 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.
Параграф 22*

Определение эллипса
Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина постоянная, называется эллипсом. Точки F1, F2 называются фокусами эллипса.
Таким образом, для точек A эллипса с фокусами F1 и F2 сумма AF1 + AF2 постоянна и равна некоторому заданному отрезку c, большему F1F2.

Рисуем эллипс
По данному рисунку укажите способ построения эллипса с помощью кнопок, нитки и карандаша.

Построение эллипса с использованием программы GeoGebra

Для точек F1, F2 найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до точек F1, F2 а) меньше c; б) больше c.

Что будет происходить с эллипсом, если константа c не изменяется, а фокусы: а) приближаются друг к другу; б) удаляются друг от друга?

Касательная к эллипсу
Прямая, имеющая с эллипсом только одну общую точку, называется касательной к эллипсу. Общая точка называется точкой касания.

Проведите доказательство теоремы, используя рисунок.

Фокальное свойство эллипса
Если источник света поместить в фокус эллипса, то лучи, отразившись от эллипса, соберутся в другом фокусе.

Построение касательной к эллипсу с использованием программы GeoGebra

Построение касательной
По данному рисунку укажите способ построения касательной к эллипсу, заданному фокусами F1, F2, проходящей через точку C, с помощью циркуля и линейки.

Через точку C проведите касательную к эллипсу, с заданными фокусами F1, F2 и константой с.

Через точку C проведите касательные к эллипсу, с заданными фокусами F1, F2 и константой с.

Для заданных точек А и В найдите геометрическое место точек С, для которых периметр треугольника АВС равен постоянной величине с.

Найдите геометрическое место точек пересечения пар окружностей с заданными центрами O1, O2 и суммой радиусов c = R1 + R2 (c > O1O2).

На клетчатой бумаге постройте несколько точек, расположенных в узлах сетки, модуль разности расстояний от которых до точек F1 и F2 равен 2 (стороны клеток равны 1). Соедините их плавной кривой.
Параграф 23*

Гипербола
Геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 есть величина постоянная, называется гиперболой. Точки F1, F2 называются фокусами гиперболы.
Таким образом, для точек А гиперболы с фокусами F1, F2 выполняется равенство: |AF1 - AF2| = c, где c – некоторое положительное число.

Рисуем гиперболу
По данному рисунку укажите способ построения гиперболы с помощью линейки, кнопок, нитки и карандаша.

Построение гиперболы с использованием программы GeoGebra

Найдите геометрическое место точек A, для которых разность AF1 – AF2 расстояний до двух заданных точек F1, F2: а) больше заданной величины c; б) меньше заданной величины c.

Касательная к гиперболе
Прямая, проходящая через точку А гиперболы, остальные точки A' которой лежат во внешней области, т. е. удовлетворяют неравенству A'F1 – A'F2 < c, называется касательной к гиперболе. Точка А называется точкой касания.

Фокальное свойство гиперболы
Если источник света поместить в один из фокусов гиперболы, то лучи, отразившись от нее, пойдут так, как будто бы они исходят из другого фокуса.

Построение касательной
По данному рисунку укажите способ построения касательной, проходящей через точку C, к гиперболе, заданной фокусами F1, F2 и константой c, с помощью циркуля и линейки.

Построение касательной к гиперболе с использованием программы GeoGebra

Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся внешним образом двух заданных окружностей.

Дана прямая c и точка O на расстоянии 2 от этой прямой. Через точку O проводятся прямые, пересекающие прямую c в точках C. От точек C на этих прямых откладываются отрезки CA = CB = 4. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется конхоидой.

Ответ.

Дана прямая и точка O на расстоянии OP = 2 от этой прямой. Через точку O проводятся прямые, пересекающие прямую c в точках C. От точек C на этих прямых откладываются отрезки CA = CB = CP. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется строфоидой.

Ответ.

Дана прямая и точка O на расстоянии OQ = 4 от этой прямой. С диаметром OQ проведена окружность. Через точку O проводятся прямые, пересекающие окружность в точках B и прямую c в точках C. От точек O на этих прямых откладываются отрезки OA = BC. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется циссоидой.

Ответ.

Дана окружность радиусом 2 и точка O, ей принадлежащая. Через точку O проводятся прямые, пересекающие окружность в точках C. От точек С на этих прямых откладываются отрезки СA = CB = 1. Изобразите кривую, которую при этом описывают точки A и B. Она называется улиткой Паскаля.

Ответ.