Основы линейной алгебры

Матрицы

Матрицей размерности m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
где
указывает номер строки, а
номер столбца.
Матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются в виде:
Сокращенно матрица А записывается в виде:
или
или

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О.

Единичная матрица Е – это диагональная матрица, в которой все элементы главной диагонали равны единице, т.е.

Пример

Пример

Пример
Вычислить 4А - 3B, если
Решение:
4А - 3B = 4А + (-3)B

4. Умножение матриц
Опр. 17. Произведение матрицы А на матрицу В, определено тогда и только тогда, когда число столбцов первой матрицы А совпадает с числом строк второй матрицы В, и в этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В для умножения.
Если
тогда
Итак, элемент i-той строки и j-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B.

Найти произведение матриц АB и BA
Решение:
Произведение матриц АB существует, т.к. матрица А имеет размерность 2х2, а матрица B – 2х3, и число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы B.
Произведение матриц BA не существует.
с11 = 1·2+2 ·0 = 2
с12 = 1·1+2 ·0 = 1
с13 = 1·3+2 ·1 = 5
с21 = 3·2+4 ·0 = 6
с22= 3·1+4 ·0 = 3
с23= 3·3+4 ·1 = 13
Пример

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников или правилом Сарруса.
«+»
«−»

Пример
Вычислить определители матриц:

Опр.2. Минором элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij. Минор элемента aij обозначается Мij
лат. minor - меньший

Пример. Найти миноры M11, M32, M43

Опр.4. Алгебраическим дополнением элемента аij матрицы n-го порядка А называется число, равное (-1)i+jMij и обозначаемое символом Аij:
Аij = (-1)i+jMij
где i=1, 2, … n; j=1, 2, …, n.
Алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столбца – нечетное число.

Определитель n-го порядка матрицы Аn равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения.
для строки:
= ai1 Ai1 +ai2 Ai2 +…+aij Aij +…+ ain Ain , (i = 1;2;…;n);
для столбца:
=a1j A1j +a2j A2j +..+ aij Aij +…+ anj Anj , (j = 1;2;…;n).

Пример
По 2-ой строке:

Пример
По 3-му столбцу:

Определитель n-го порядка треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
Определитель n-го порядка единичной матрицы E равен 1.

Ранг матрицы

Элементарными преобразования матрицы называются :
Транспонирование (замена строк столбцами)
Перестановка строк и столбцов.
Умножение некоторой строки (столбца) на число, отличное от нуля.
Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

Теорема о ранге матрицы

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

Опр. 1. Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если
АА-1 = А-1А = Е
Матрицы А и А-1 взаимно-обратны (А-1)А = А

Всякая невырожденная матрица Аn имеет обратную матрицу А-1, причем
где Аij – алгебраические дополнения элементов aij (i=1, …, n; j=1, …, n)матрицы А.

Пример
Найти матрицу, обратную к данной:
Решение:
Т.к. |А|=-2≠0, то матрица А – невырожденная и имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения Aij:
Вычислим обратную матрицу (Т.2):
Для проверки правильности вычисления обратной матрицы необходимо убедиться в выполнении равенства: АА-1=Е.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Опр. Системой m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) называется система уравнений
где x1, x2, … xn – неизвестные, подлежащие определению;
числа aij, i=1, 2, … m; j=1, 2, ..n называются коэффициентами системы, а числа bi - ее свободными членами.
Число уравнений системы не обязательно совпадает с числом неизвестных, возможны следующие случаи:
m>n , m=n , m

Опр. Матрица А составленная из коэффициентов СЛУ называется основной матрицей системы.

Опр. Матрицы X и B называются матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов.

Матричная форма записи СЛУ:

Пример. Записать в матричной форме

Решение
Обозначим
Следовательно, имеем AX = B.

Рассмотрим частный случай неоднородной системы, когда m=n, т.е. систему вида
Определитель |А| основной матрицы системы
В этом случае система линейных уравнений называется невырожденной.

Пример. Решить систему

Решение.
т.е. исходная система трех неоднородных линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение.
Найдем единственное решение системы матричным методом Х=А-1В.
Найдем теперь обратную матрицу А-1, для этого найдем алгебраические дополнения:

Следовательно, обратная матрица равна

Найдем теперь решение системы

Проверка

Правило Крамера
Согласно правилу Крамера, если |A| ≠ 0, то единственное решение СЛУ вычисляется по следующим формулам:
Определители |A|j получаются из определителя |A| заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Найдем теперь решение системы по правилу Крамера

МЕТОД ГАУССА

Элементарными называются следующие преобразования системы:
Перестановка местами двух уравнений системы.
Умножение некоторого уравнения системы на число, отличное от нуля.
Прибавление к одному уравнению системы другого её уравнения, предварительно умноженного на некоторое число.
Изменение порядка следования неизвестных.