Геометрические преобразования графиков функций

y=-f(x)
y=f(-x)
y=f(x)+a
y=f(x+a)
y=a·f(x)
y=f(a·x)
y=|f(x)|
y=f(|x|)
Содержание

Если известен график функции y=f(x), то с помощью некоторых преобразований плоскости (параллельный перенос, осевая и центральная симметрии и т. д.) можно построить графики более сложных функций:

График этой функции получается путём симметричного отображения графика y=f(x) относительно оси x.
Замечание: точки пересечения графика с осью Ox остаются неизменными.
1)

y
y=2x
y=-2x
x
Примеры:
x
x
y

График этой функции получается путём симметричного отображения графика y=f(x) относительно оси y.
Замечание: точки пересечения графика с осью Oy остаются неизменными.
2)

Примеры:

3).
График этой функции получается так:
а) Если а>0 (положительное), то путем параллельного переноса графика y=f(x) на расстояние |a| в положительном направлении оси Oy (сдвиг вверх).
б) Если а<0 (отрицательное), то путем параллельного переноса графика y=f(x) на расстояние |a| в отрицательном направлении оси Oy (сдвиг вниз).

Примеры:

4).
График этой функции получается так:
а) Если а>0 (положительное), то путем параллельного переноса графика y=f(x) на расстояние |a| в отрицательном направлении оси Oy (сдвиг влево).
б) Если а<0 (отрицательное), то путем параллельного переноса графика y=f(x) на расстояние |a| в положительном направлении оси Oy (сдвиг вправо).

Примеры:

График этой функции получается так:
а) Если а>1, то путём растяжения графика y=f(x) вдоль оси Oy в а раз.
б) Если 0<а<1, то путём сжатия графика y=f(x) вдоль оси Oy в 1/а раз.
Замечание: точки пересечения графика с осью Ox остаются неизменными.
5)

Примеры:

6).
График этой функции получается так:
а) Если а>1, то путём сжатия графика y=f(x) вдоль оси Ox в а раз.
б) Если 0<а<1, то путём растяжения графика y=f(x) вдоль оси Ox в 1/а раз.
Замечание: точки пересечения графика с осью Oy остаются неизменными.

Примеры:

7).
График этой функции получается так:
Части графика y=f(x), лежащие над осью Ox и на оси Oy, сохраняются, а части лежащие ниже оси Ox – симметрично отображаются относительно оси Ox («нижнее - наверх»).
Замечание: График этой функции полностью расположен в верхней полуплоскости.

Примеры:

8).
График этой функции получается так:
На промежутке x≥0 график исходной функции y=f(x) сохраняется;
На промежутке x<0 полученная часть графика (правая часть) отображается симметрично относительно оси Oy («правая - налево»).
Замечание: функция y=f(|x|) – чётная (её график симметричен относительно оси Oy).

Примеры:

y=-f(x)
y=f(-x)
y=f(x)+a
y=f(x+a)
y=a·f(x)
y=f(a·x)
y=|f(x)|
y=f(|x|)
Итог по теме