Комплексные числа и квадратные уравнения

Квадратное уравнение с действительными коэффициентами
?

На множестве С можно находить корни любых квадратных уравнений!
Как извлечь квадратный корень из отрицательных действительных чисел?
Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и D<0.
Как извлечь квадратный корень из любого комплексного числа? (в алгебраической и тригонометрической форме записи).
Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

Как извлечь квадратный корень из отрицательных действительных чисел?
Определение: квадратным корнем(корнем второй степени) из комплексного числа z называют комплексное число, квадрат которого равен z.

Формула извлечения квадратного корня из отрицательных действительных чисел

Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами и D<0.
Важно знать!
Если у уравнения есть комплексный корень, то и сопряжённое ему число – тоже является корнем этого уравнения!
Сопряжённые числа

Как извлечь квадратный корень из любого комплексного числа? (в алгебраической и тригонометрической форме записи).
Теорема: Если b≠0, то
Что равносильно системе условий:

Например:

Избежать громоздких вычислений позволяет тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Теорема:
Доказательство:
Всегда 2 корня!

=
=
=
Аналогично:
Важно запомнить!
При возведении комплексного числа в
квадрат – его аргумент удваивается!!!

Алгоритм извлечения квадратного корня из комплексного числа:
Найти модуль ρ и аргумент α этого числа;
Провести окружность радиусом √ρ с центром в начале координат;
Провести через начало координат прямую под углом к положительному направлению оси абсцисс;
Две точки пересечения проведённых окружности и прямой – дают ответ.

1).
=
=
z
2
-2
1
-1
2)-4).

Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.
Так как множества и совпадают между собой , то для решения квадратных уравнений с комплексными коэффициентами можно сохранить привычную формулу корней квадратного уравнения:

Полезные следствия для формулы корней квадратного уравнения:
(теорема Виета)
Если Z1 и Z2 –корни квадратного уравнения
то
(формула разложения квадратного трёхчлена на линейные множители)
Если Z1 и Z2 –корни квадратного уравнения
то