Понятие композиции отношений. Виды отношений

Пусть - отношение на
, а - отношение на
Композицией отношений S и R
называется отношение , определенное
следующим образом:

Это множество обозначается

Пример:
Даны, множества
A = {1,2,3}, B = {x,y}, С = {♦, ♥, ♣, ♠}.
Отношения R на
и S на на заданы в виде:
R = {(1,x), (1,y), (3,x) };
S = {(x, ♦), (x, ♥), (y, ♣), (y, ♠)}.

Тогда

Теорема.
Композиция отношений ассоциативна;
т.е. если А, В, и С – множества и если
,
тогда

Виды отношений

В зависимости от того, какими
свойствами обладает отношения, они
делятся на три вида;
отношение эквивалентности,
отношение порядка,
отношение доминирования.

Бинарное отношение R на множестве
A2 называется отношением
эквивалентности, если оно обладает
свойствами рефлексивности,
симметричности и транзитивности.

Эквивалентные элементы
(т.е. находящиеся в отношении
эквивалентности), как правило, обладают
какими-то общими признаками.

Пример
А = {1,2,3,4,5,6},
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4),(5,5), (6,6),
(1,2), (1,4), (2,1), (2,4), (3,5), (5,3), (4,1),
(4,2)}.
Бинарное отношение R на А
рефлексивно, симметрично,
транзитивно, следовательно, R есть
отношение эквивалентности на
множестве А.

Если на множестве задано отношение эквивалентности, то все его элементы можно разбить на непересекающиеся подмножества, состоящие из эквивалентных друг другу элементов (классы эквивалентности).

Разбиением множества А называется совокупность попарно непересекающихся непустых подмножеств А1, А2, …, Аn из множества А таких, что каждый элемент множества А принадлежит одному и только одному из этих подмножеств.

Пусть а А, и R отношение эквивалентнос
ти на А А. Пусть [а] обозначает
множество
называемое классом эквивалентности,
содержащим а.
Символ [A]R обозначает множество всех
классов эквивалентности множества А по
отношению R.

Пример
А = {1,2,3,4,5,6},
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6),
(1,2), (1,4), (2,1), (2,4), (3,5), (5,3), (4,1),
(4,2)}.

Класс эквивалентности по отношению к R
получаются путем определения класса
эквивалентности каждого элемента
множества А.

Имеется только три различных класса
эквивалентности

Выводы
Любой элемент класса эквивалентности
порождает класс эквивалентности: если
.
На основании этого свойства следует,
что любой элемент класса
эквивалентности представляет собой
класс.

Каждый класс эквивалентности
содержит по крайней мере, один элемент,
в силу рефлексивности отношении.
Множество всех элементов,
эквивалентных а, должно содержать а.
Никакой элемент не может
принадлежать двум разным классам
эквивалентности.

Отношение эквивалентности разбивает
множество А на попарно непересекающиеся
классы эквивалентных элементов, таким
образом, что каждый элемент А
принадлежит точно одному классу
эквивалентности.

1. Всякое разбиение множества А на классы
задает на множестве А отношение
эквивалентности.
2. Всякое отношение эквивалентности R,
определенное на множестве А, задает
разбиение множества А на классы.
3. Между разбиениями множества на классы и
отношениями эквивалентности, заданными на
этом множестве, существует взаимно
однозначное соответствие.

Отношение порядка

Отношение R на множестве A2
называется отношением частичного
порядка, если оно обладает свойствами
рефлексивности, антисимметричности,
транзитивности.
Обычно отношения частичного порядка
обозначают знаком ≤ .

Множество А вместе с заданным на нем
отношением частичного порядка R
называется частично упорядоченным
множеством (ЧУ-множеством с
порядком R).

Если для двух элементов x и y выполняется x ≤ y, то говорят, что x «предшествует» y.
У произвольно взятого элемента y может быть много предшествующих элементов.

Однако, если х предшествует у, и не существует таких элементов z, для которых хRz и zRy, то х – непосредственный предшественник y, обозначение x y.

Элементы а и b частично упорядоченного множества (А, ≤) называется сравнимыми, если а ≤ b или b ≤ a, в противном случае – несравнимыми.
Частичный порядок называется линейным (полным), если любые два элемента сравнимы.

Другими словами линейным порядком на множестве А называется отношение частичного порядка, при котором из любой пары элементов можно выделить предшествующий и последующий.

Пример линейного порядка: «≤» на
множестве вещественных чисел,
лексикографическое упорядочение слов в
словаре.

Если каждые два элемента частично
упорядоченные множества (А, ≤)
сравнимы, то (А, ≤) называется вполне
упорядоченным множеством или
цепью.

Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством ≤ на множестве вещественных чисел R.

Рассмотрим на множестве A всех
сотрудников некоторого предприятия. Отношение, задается следующим
образом: сотрудник x предшествует
сотруднику y тогда и только тогда, когда
выполняется одно из условий: x=y; x
является начальником (не обязательно
непосредственным) y.

Назовем такое отношение «быть
начальником».
Отношение «быть начальником»
является отношением порядка.

Поскольку существуют такие пары
сотрудников x и y, для которых не
выполняется ни x ≤ y, ни y≤x (например,
если x и y являются сослуживцами). Такие отношения, в которых есть
несравнимые между собой элементы,
называют отношениями частичного
порядка.

Вершины графа изображают элементы
ЧУ-множества А, и если x y., то
вершина х помещается ниже вершины y и
соединяется с ней ребром.
Диаграмма Хассе позволяет получить
полную информацию об исходном
частичном порядке.

Пример:
Дано отношение «…делитель…»
определяет частичный порядок на
множестве А = {1,2,3,6,12,18}.
Составить таблицу предшественников и
непосредственных предшественников. Построить соответствующую диаграмму
Хассе.

Диаграмма Хассе