Логика, делимость. Задание №15

Повторение: упрощение логических операций

Задача 1

Задача 1
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула
ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение задачи 1
ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35))
Введём обозначения:
А = ДЕЛ(x, А)
21 = ДЕЛ(x, 21)
35 = ДЕЛ(x, 35)
Получаем: А -> (21 V 35)
Упростим: ¬A V 21 V 35

Решение задачи 1
¬A V 21 V 35
С учётом наших обозначений получаем:
или х не делится на А, или х делится на 21, или х делится на 35.
Если х делится на 21, результат – истина.
Если х делится на 35, результат – истина.
Но если х не делится ни на 21, ни на 35, то чтобы результат был истиной, х также не должно делиться на А. Значит, если разложить А на множители, среди них должны быть либо 21, либо 35.

Решение задачи 1
Требуется найти наименьшее А, среди делителей которого есть либо 21, либо 35.
Это число 21.
Ответ: 21

Решение задачи 1
Более формальный способ решения:
1) ввели обозначения: А -> (21 V 35)
2) упростили: ¬A V 21 V 35
3) разделили на две части: в первой части находится выражение с А, во второй части выражений с А нет
¬A – первая часть
21 V 35 – вторая часть
4) поставили отрицание перед второй частью:
¬(21 V 35) = ¬21 ∧ ¬35

Решение задачи 1
5) По условию задачи требуется найти минимальное А, при котором исходная формула тождественно истинна.
Переформулируем: нужно найти минимальное А, что если выполняется ¬21 ∧ ¬35, то выполняется и ¬A (первая часть выражения).
Х не делится на 21 и Х не делится на 35. Минимальное А, на которое не делится Х, равно 21. Это и есть ответ.

Задача 2

Задача 2
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула
ДЕЛ(x, А) → (¬ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение задачи 2
ДЕЛ(x, А) → (¬ДЕЛ(x, 21) + ДЕЛ(x, 35))
После переобозначения (см. пример обозначений в задаче 1) получаем:
А -> (¬21 V 35)
После упрощения:
¬A V ¬21 V 35
Т.е. или х не делится на А, или х не делится на 21, или х делится на 35.

Решение задачи 2
¬A V ¬21 V 35
Если х не делится на 21, выражение истинно.
Если делится на 35, выражение истинно.
Если х делится на 21 и не делится на 35, то чтобы выражение было истинным, х не должно делиться на А.
х не должно делиться на А, и мы знаем, что х не делится на 35 => х не делится ни на 5*7.
х делится на 21 => х делится на 3*7.

Решение задачи 2
х не делится на 35 => х не делится на 5*7.
х делится на 21 => х делится на 3*7.
Нужно найти минимальное х, на которое х не будет делиться. Это 5.
Ответ: 5

Решение задачи 2
Более формальный способ решения:
1) ввели обозначения: А -> (¬21 V 35)
2) упростили: ¬A V ¬21 V 35
3) разделили на две части: в первой части находится выражение с А, во второй части выражений с А нет
¬A – первая часть
¬21 V 35 – вторая часть
4) поставили отрицание перед второй частью:
¬(¬21 V 35) = 21 ∧ ¬35

Решение задачи 2
5) По условию задачи требуется найти минимальное А, при котором исходная формула тождественно истинна.
Переформулируем: нужно найти минимальное А, что если выполняется
21 ∧ ¬35, то выполняется и ¬A (первая часть выражения).
Х делится на 21 и Х не делится на 35. Т.е. Х делится на 3*7 и не делится на 5*7.
Минимальное А, на которое не делится Х, равно 5. Это и есть ответ.

Задача 3

Задача 3
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула
¬ДЕЛ(x, А) → (¬ДЕЛ(x, 21) ∧¬ ДЕЛ(x, 35))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение задачи 3
¬ДЕЛ(x, А) → (¬ДЕЛ(x, 21) ∧¬ ДЕЛ(x, 35))
После переобзначения:
¬А -> (¬21 ∧ ¬35)
Упростим:
¬(¬A) V (¬21 ∧ ¬35)
A V (¬21 ∧ ¬35)
Это означает, что или х делится на А, или х не делится ни на 21, ни на 35.

Решение задачи 3
A V (¬21 ∧ ¬35)
Если х не делится ни на 21, ни на 35, выражение истинно.
Если х делится на 21, то чтобы выражение было истинным, оно также должно делиться на А.
Если х делится на 35, то чтобы выражение было истинным, оно также должно делиться на А.
Нужно взять такое А, чтобы для любого х, делящегося или на 21, или на 35, выражение было истинным.

Решение задачи 3
х делится на 21 => x делится на 3*7.
х делится на 35 => х делится на 5*7.
Если А = 7, то для любого х, делящегося или на 21, или на 35, выражение будет истинным.
Ответ: 7

Решение задачи 3
Более формальный способ решения:
1) ввели обозначения: ¬А -> (¬21 ∧ ¬35)
2) упростили: A V (¬21 ∧ ¬35)
3) разделили на две части: в первой части находится выражение с А, во второй части выражений с А нет
A – первая часть
¬21 ∧ ¬35 – вторая часть
4) поставили отрицание перед второй частью:
¬(¬21 ∧ ¬35)= 21 V 35

Решение задачи 3
5) По условию задачи требуется найти минимальное А, при котором исходная формула тождественно истинна.
Переформулируем: нужно найти минимальное А, что если выполняется
21 V 35, то выполняется и A (первая часть выражения).
Х делится на 21 или Х делится на 35. Т.е. Х делится на 3*7 или делится на 5*7. В любом случае Х делится на 7.
Минимальное А, на которое делится Х, равно 7. Это и есть ответ.

Задача 4

Задача 4
Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула
¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 6) → ¬ДЕЛ(x, 4))
тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение задачи 4
¬ДЕЛ(x, А) → (ДЕЛ(x, 6) → ¬ДЕЛ(x, 4))
После переобзначения:
¬А → (6 → ¬4)
Упростим:
¬А → (¬ 6 V ¬4)
¬(¬А) V (¬ 6 V ¬4)
А V ¬ 6 V ¬4
Т.е. или х не делится на 6, или х не делится на 4, или х делится на 4.

Решение задачи 4
А V ¬ 6 V ¬4
Если х не делится на 6, выражение истинно.
Если х не делится на 4, выражение истинно.
Если х делится и на 6, и на 4, то х также должно делиться на А, чтобы выражение было истинным.
х делится на 4 => x делиться на 2*2
х делиться на 6 => х делиться на 2*3
Нужно найти наибольшее А, на которое гарантированно будет делиться такое число х. Это число 2*2*3 = 12.
Ответ: 12

Решение задачи 4
Более формальный способ решения:
1) ввели обозначения: ¬А → (6 → ¬4)
2) упростили: А V ¬ 6 V ¬4
3) разделили на две части: в первой части находится выражение с А, во второй части выражений с А нет
A – первая часть
¬ 6 V ¬4 – вторая часть
4) поставили отрицание перед второй частью:
¬(¬ 6 V ¬4)= 6 ∧ 4

Решение задачи 4
5) По условию задачи требуется найти максимальное А, при котором исходная формула тождественно истинна.
Переформулируем: нужно найти максимальное А, что если выполняется
6 ∧ 4, то выполняется и A (первая часть выражения).
Х делится на 6 и Х делится на 4. Т.е. Х делится на 2*3 и делится на 2*2. Х делится на 2*2*3.
Максимальное А, на которое гарантированно делится Х, равно 12. Это и есть ответ.

Самостоятельно

Самостоятельно
5. Для какого наибольшего натурального числа А формула ¬ДЕЛ(x,А)→(ДЕЛ(x,6)→ ¬ДЕЛ(x,9)) тождественно истинна?
6. Для какого наименьшего натурального числа А выражение (ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 21)) → ДЕЛ(x, 18) тождественно истинно?
7. Для какого наибольшего натурального числа А формула
(¬ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 15)) → (¬ДЕЛ(x, 18) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15)) тождественно истинна?
8. Для какого наименьшего натурального числа А формула
(ДЕЛ(x, А) ∧ ¬ДЕЛ(x, 15)) → (ДЕЛ(x, 18) ∨ ДЕЛ(x, 15)) тождественно истинна
9, Для какого наименьшего натурального числа А формула
(ДЕЛ(x, А) ∧ ДЕЛ(x, 12)) → (ДЕЛ(x, 42) ∨ ¬ДЕЛ(x, 12)) тождественно истинна?

Ответы
5. 18
6. 18
7. 90
8. 15
9. 7