Математические модели и методы их решения (тема 6)

Общие положения
Математическая модель это описание не-которого явления с помощью математических си-мволов и операций.
Постановка задачи предполагает описание модели и цели ее исследования. Для одной и той же модели формулируются различные задачи.
Наиболее часто встречающейся моделью явля-ется функциональная зависимость y = f(x), для которой ставятся различные задачи, например:
− найти max f(x);
− найти x, при котором f(x) = 0, и др.

Решить задачу − значит указать алгоритм, для получения нужного результата из известных исходных данных.
Методы (алгоритмы) решения математиче-ских задач можно разделить на точные, прибли-женные и численные.
К точным методам относятся алгоритмы, позволяющие за конечное число действий полу-чить в принципе, если нет ошибок округления, точное решение.
Обычно оно получается в виде формулы или конечного вычислительного алгоритма.

Приближенные − это методы, позволяющие за счет некоторых допущений свести решение исходной задачи к более простой задаче, которая имеет точное решение.
Численные методы предполагают разработку вычислительного алгоритма, обеспечивающего решение задачи с заданной погрешностью.

Погрешность вычислений
Погрешность оценивают числом, характе-ризующим близость между точным и прибли-женным значениями некоторой величины.
Пусть х − точное, а х* − приближенное значения. Тогда:
Δ(х*) = | x − x* | − абсолютная погрешность;
Δ(х*) ≥ | x − x* | − предельная абсолютная погрешность;
δ(х*) = Δ(х*) / | x* | − относительная погре-шность.

Источники погрешностей
Есть четыре основных источника погрешно-сти результата.
1. Неточность математической модели.
2. Погрешность исходных данных. В зави-симости от того, как ошибки исходных данных отражаются на результате, задачи разделяют на: корректные и некорректные.
Задача корректна, если малые ошибки исходных данных приводят к пропорционально малым ошибкам решения. Если малые ошибки исходных данных приводят к большим ошибкам результатов, задача называется некорректной.

3. Погрешность метода. Алгоритм задачи представляется бесконечной последовательно-стью действий, выполнение которых ограничива-ется, например, заданной погрешностью.
4. Ошибки округлений. Расчеты на ПК про-изводятся с конечным числом значащих цифр, поэтому при вычислениях (1./3. = 0.3333...), если округление производится в седьмом знаке, то вносится ошибка ε ≈ 10-8. Если вычислений мно-го, ошибки могут накапливаться или компенси-роваться.
Метод устойчив, если ошибки округлений не накапливаются, иначе метод неустойчив.

Итерационные методы
Символически решаемую задачу можно записать в виде
А ( X ) = b,
где А − заданный оператор (формула, реализующая метод), элемент b задан, требуется найти X.
Обозначим X – точное решение задачи (X может быть числом, вектором, или функцией), X* – приближенное.

Итерационные методы основаны на постро-ении сходящейся к точному решению X беско-нечной последовательности элементов той же природы, что и X :
X0, X1, X2, …, Xk → X (при k →∞)
Последовательность – рекуррентна, если каждый ее следующий член выражается через предыдущий по некоторому правилу:
X1 = ϕ (X0); X2 = ϕ (X1); …, Xk = ϕ (Xk−1); … (1)
X0 – решение на нулевом шаге, т.е. начальное приближение, которое известно или задается.

Расчеты производят до тех пор, пока не выполнится (как правило) условие:
|| Xk – X k−1 || < ε ,
где ε – заданная погрешность (точность) решения.
В качестве искомого приближенного реше-ния X* берут последний член последовательности Xk, при котором выполнилось указанное нераве-нство, т.е. достигнута заданная точность.