Математика. Управление социальными системами. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Системой линейных алгебраических уравнений, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными x и y, называется система вида:

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Матрица называется матрицей системы (1);
Вектор называется столбцом свободных членов системы (1),
Вектор столбцом неизвестных.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Теорема 1 (правило Крамера). Если определитель матрицы системы (1) не равен нулю, то система (1) имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
где
− определители, полученные из заменой его j-го столбца столбцом свободных членов .

ПРАВИЛО КРАМЕРА

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Системой линейных алгебраических уравнений, состоящей из трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z, называется система вида:
где
– некоторые постоянные действительные числа.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

ПРАВИЛО КРАМЕРА

ПРАВИЛО КРАМЕРА

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Системы линейных алгебраических уравнений
О п р е д е л е н и е. Системой линейных алгебраических уравнений, состоящей из m уравнений с n неизвестными х1,…,хn, называется система вида:
где a11,…,amn, b1,…,bm некоторые числа.
(1)

Системы линейных алгебраических уравнений
Введем
вектор–столбец неизвестных,
вектор-столбец свободных членов,
матрица системы.

Системы линейных алгебраических уравнений
Тогда система (1) может быть записана в векторной форме:
Если b1=0,….,bm=0, то система называется линейной однородной.
Однородная система в векторной форме имеет вид
Система (2) называется линейной неоднородной системой.
(2)

ПРИМЕРЫ
П р и м е р 1. Для системы:
указать матрицу системы А и столбец свободных членов
Записать систему в векторной форме.

ПРИМЕРЫ
Тогда матрица А рассматриваемой системы составляется из числовых коэффициентов, стоящих в системе при неизвестных:
Р е ш е н и е. Обозначим столбец неизвестных :

ПРИМЕРЫ
Столбец составляется из свободных членов системы:
Поэтому систему можно переписать в векторной форме:
О т в е т:

Системы линейных алгебраических уравнений
О п р е д е л е н и е. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица, обозначаемая и полученная приписыванием к матрице А справа после вертикальной черты столбца .

Системы линейных алгебраических уравнений
О п р е д е л е н и е. Решением системы (2) называется любой n- мерный вектор , подстановка которого в систему дает тождество.
О п р е д е л е н и е. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.

Системы линейных алгебраических уравнений
Т е о р е м а 1. (Кронекера – Капелли). Система (1)
совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, то есть:
При этом если то система имеет единственное решение;
если то система имеет бесконечное множество решений (n –число неизвестных).

ПРИМЕРЫ
П р и м е р 2. Исследовать на совместность систему:
Р е ш е н и е.

ПРИМЕРЫ
Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:
Следовательно:
и
О т в е т: система несовместна.

Метод Гаусса
Определение. Две системы, множества решений которых совпадают, называются равносильными.
Теорема. 2. Применение к расширенной матрице системы элементарных преобразований приводит к равносильной системе.
Метод Гаусса основан на приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду Гаусса и решению полученной системы.

Метод Гаусса
Шаги метода Гаусса рассмотрим на примере.
Пример 1.

Метод Гаусса
I. Привести расширенную матрицу к ступенчатому виду.

Метод Гаусса

Метод Гаусса
III. Привести матрицу к виду Гаусса.
IY. Написать систему, соответствующую матрице шага III.

Метод Гаусса

Метод Гаусса
YII. Записать ответ в векторной форме.

Метод Гаусса

Линейная зависимость векторов

Системы любого числа линейных алгебраических уравнений
Т е о р е м а 2. Решение системы (2) имеет вид:
где частное решение линейной неоднородной системы (2); число k, называемое числом свободных неизвестных системы (2), вычисляется по формуле ,
произвольные постоянные числа;
постоянные n- мерные векторы, являющиеся линейно независимыми решениями соответствующей линейной однородной системы .
(3)

Фундаментальная система векторов
Рассмотрим однородную систему
Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое(тривиальное) решение.
Нетривиальное решение возможно только при условии
Общее решение имеет вид
линейно-независимые n-мерные векторы, образующие фундаментальную систему решений однородной системы.

ПРИМЕРЫ
П р и м е р 2. Решить систему:
Р е ш е н и е. В данном случае имеем:
столбец свободных членов.

ПРИМЕРЫ

ПРИМЕРЫ
О т в е т:

ПРИМЕРЫ
Пример 3. Решить систему
Решение.

ПРИМЕРЫ
Пример 3. (продолжение)
Получим систему
откуда