Методика изучения площади. История развития понятия площади

Одним из понятий, которое изучается в начальной школе является понятие площадь. С ней приходиться сталкиваться ежедневно.
Для того, чтобы постелить новую плитку в квартире нужно приобрести определенное ее количество, которое будет зависеть от площади комнаты. Размер земельного участка дома будет характеризоваться площадью.

История развития понятия площади
Необходимость измерять площадь возникла у человека тогда, когда он стал переходить от кочевого образа жизни к оседлому. Занятие земледелием, строительством жилищ, другие виды деятельности потребовали измерения площади.

История развития понятия площади в Вавилоне
Еще 4 - 5 тыс. лет назад вавилоняне вычисляли площади земельных участков, имеющих форму прямоугольника и трапеции, в квадратных единицах, как произведение – называли его «а-ша» что означало «площадь». Единицей измерения площади использовали квадрат. Он обладает замечательными свойствами: равные стороны, равные и прямые углы; квадрат имеет ось и центр симметрии и совершенство формы. Квадраты легко строить, и ими можно покрыть без просветов фигуры любой формы. Измерение производилось при помощи верёвки.

История развития понятия площади в Египте
Около 4 000 лет назад египтяне определяли площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции теми же приемами, как и мы.
То есть, чтобы определить площадь прямоугольника, умножали длину на ширину;
чтобы найти площадь треугольника, основание треугольника делили пополам и умножали на высоту.
А для нахождения площади трапеции сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту.
Площадь многоугольника находили разбиением его на прямоугольники, треугольники и трапеции.

Египтяне использовали и иные меры , которые позволяли быстрее измерять площадь земельного участка путем только обхода его по границам, но результат измерения получался с некоторой погрешностью.

История развития понятия площади в трудах Евклида
В математических трудах Евклида, Герона, Брахмагупты и других известно, что по вопросам измерения площадей греки и индусы пошли далеко вперед по сравнению с египтянами и вавилонянами.
В своих «Началах» Евклид не применял слово «площадь», так как он под словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией, и под понятием фигуры подразумевал и ее площадь.
Евклид результат измерения площади не выражает числом, сравнивает площади различных фигур между собой.
Евклид также занимается вопросами превращения одних фигур в равновеликие им фигуры, оперируя при этом не числами, а самими площадями.

История развития понятия площади в Южной Индии
в Южной Индии единицей измерения площади был участок земли, который занимал загон овец.

История развития понятия площади в Древней Руси
Для измерения площади у русского народа были свои особые мерки : копна, выть, соха, обжа, коробь, веревка, жеребья. Но основными стали «десятина» и «честь».
Сейчас мы не используем этих мер площади. От древних землемеров нам досталось только само слово «площадь».

История возникновения различных единиц измерения площади

Единицы измерения площадей в разных странах
Адер – в Финляндии.
Акр – в Англии.
Арпан – во Франции, Бельгии и во французской Швецарии.
Вака – в Швеции и Финляндии.
Волока – в Литве и Польше.
Гак – В Прибалтике.
Дунам – Османская империя: Кипр, Израиль, Ирак.
Лан – в Польше и Литве.
Морген или морг, также морга – в Немецких землях, Нидерландах и Польше.
Рай – в Таиланде.
Род – в Америке.

Старинная система мер площади

Квадратная верста
Верста́ — русская единица измерения расстояния, равная пятистам саженям или тысяче пятистам аршинам (что соответствует нынешним 1066,8 метра, до реформы XVIII века — 1066,781 метра).
Упоминается в литературных источниках XI века, в XVII веке окончательно сменила использование термина «поприще» в этом значении. Квадратная верста (250 000 квадратных саженей) равна 1,13806224 км2. «Вёрстами» также назывались верстовые столбы на дорогах.

История:
Величина версты неоднократно менялась в зависимости от числа сажен, входивших в неё (от 500 до 1000), и величины сажени. Были вёрсты:
путевая — ею измеряли расстояния (пути)
межевая — ею мерили земельные участки.
Уложением Алексея Михайловича 1649 года была установлена верста в 1 тысячу сажен. Наряду с ней в XVIII веке стала использоваться и путевая верста в 500 сажен.

Десятина
Десятина — старая русская единица земельной площади.
Применялось несколько разных размеров десятины, в том числе «казённая», равная 2 400 квадратным саженям (109,25 соток; 1,09 га).
Десятина представляла собой прямоугольник со сторонами в 80 и 30 («тридцатка») или 60 и 40 («сороковка») саженей и носила название казённой десятины.
Была основной русской поземельной мерой. Известна с XIV века. В «Книге сошного письма» даётся следующее определение десятины: «В десятине 80 сажен длинник, поперечник 30 сажен, а дробных (то есть квадратных) в десятине 2400».

Обжа
О́бжа — единица площади для поземельного налога в Новгородской земле в XV—XVI веках.
Равнялась площади земли, которая вспахивалась с помощью одной лошади в течение одного светового дня.
Обжами — называли держальни (рукояти плужные или сошные) укрепляемые ко градилю или к рассохе, то есть этимология сходна подобным единицам поземельного налога, см. например соха (единица измерения).

В конце XV века новгородская соха равнялась 3 обжам. Московская — 10 новгородским и являлась податным округом разных размеров в различных районах государства.
В 1556 году поместье в 16 обеж заменено 300 московскими четвертями, что составило по 20 четвертей на обжу — в 1593 году 7 обеж без трети равнялись 67 четверям без трети; здесь на обжу приходится 10 четвертей.
От 1568 года имеем пример зачета обжи вдвое: один участок в Осначевской деревне значится по оброчной сотной в треть обжи, а по купчей в три четверти обжи.
Межевыми инструкциями 1754 и 1766 годов велено мерить на обжу по 10 четвертей или 5 десятин в поле. В XVI веке также существовала ещё малая обежка.

Сажень
Квадратная са́жень (или саже́нь) — старорусская единица измерения площади, упразднённая с переходом Советского Союза на метрическую систему.
Мера площади, имеющая в длину и ширину по одной сажени. Равнялась 9 квадратным аршинам, 49 квадратным футам, 2304 квадратным вершкам или 7056 квадратным дюймам.

Современная методика изучения данной величины в начальных классах по этапам

1этап. Ознакомление с величиной на основе уточнения жизненных представлений учащихся.
2этап. Сравнение величин разными способами:
- «на глаз» или с помощью ощущений;
-с помощью приемов наложения или приложения;
- с помощью различных мерок
3этап. Введение единицы измерения. Формирование измерительных навыков
4этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в одной единице измерения
5 этап. Введение других единиц измерения величины. Перевод из одной единицы в другую.
6этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований .
7этап. Умножение и деление величин на число .

1 этап. Уточнение жизненных представлений, введение понятия «Площадь».
М3Мч.1 стр. 56
При введении площади на специальном уроке к доске прикрепляем несколько фигур.
На доске несколько кругов разного размера . Предлагаем сравнить их между собой:
Чем похожи? ( формой)
Чем отличаются? ( цветом, размером)
Что понимают под размером в этом случае?
Учитель сообщает, что на данном этапе под размером понимают площадь фигуры. Это место, которое фигура занимает на поверхности чего- либо. Обводим круги на доске мелом, снимаем их . Дети видят, что круги занимают разное место на поверхности доски, значит площадь некоторых кругов больше , других меньше

2этап. Сравнение площадей разными способами
А) «на глаз» - визуально . Предлагаем для сравнения контрастные по площади фигуры.Дети сравнивают и в ответах использую терминологию .Например : площадь красного круга больше площади зеленого квадрата и т.д.
Б) Сравнение способом наложения .
Если одна фигура полностью помещается внутри другой , то площадь первой фигуры меньше площади второй.
М3Мч.1 стр. 56

В) использование различных мерок. Создаем проблемную ситуацию, когда способы А и В неудобны.
Предлагаем сравнить эти фигуры по площади , но способы А и В не дают результатов . Переворачиваем фигуры , а там они расчерчены на мерки (квадраты)
Дети подсчитывают количество мерок, поместившихся в каждой фигуре, и сравнивают эти числа.

3 этап. Введение единой меры ( единицы измерения) площади.
Площадь квадрата, сторона которого 1см, - это единица площади - квадратный сантиметр .
Выдаем на парту фигуры, состоящие из целого числа см2.
Сначала дети закрывают фигуры моделями квадратных см полностью .
Потом создаем проблемную ситуацию: моделей не хватает , чтобы полностью закрыть фигуру расчерчиваем ее на см2. Но это неудобно , (Таких заданий 1-2)

Вводим палетку. Это прозрачная пленка, расчерченная на см2. Кладем ее на фигуру и считаем см2 .
На следующем уроке учащихся знакомят с правилом нахождения площади прямоугольника
М3М ч.1 с.60
Предлагаем прямоугольник, разбитый на квадраты , нужно найти площадь прямоугольника.
Чтобы вычислить площадь прямоугольника , нужно длину умножить на ширину.
Пользуясь этим правилом, учимся находить площадь прямоугольника.

4 этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах одного наименования.
Например: площадь квадрата 16 см2 , а площадь прямоугольника на 24 см2 больше.
Найти площадь прямоугольника.
16 см2+ 24 см2

5 этап. В дальнейшем учащихся знакомят с другими единицами измерения площади.
Изучают квадратный километр. Также надо познакомить детей с аром и гектаром.
Ар- это площадь квадрата со стороной 10м.
Гектар - это площадь квадрат со стороной 100м.
Аналогичным образом рассматривают и другие единицы площади .
М4М ч.1 с. 41 Составляют сводную таблицу мер площади.
Дети должны знать таблицу наизусть , но эта таблица сложная.
Поэтому разбираем способ вычисления этих значений . Любая единица площади -это квадрат с определенной стороной, надо найти его площадь .
Далее дают задания на перевод из одной единицы в другую . Например: 3а=......м2
На этом этапе детей продолжают знакомить с палеткой , но здесь палетку используют для измерения площадей фигур с неровными краями. М4М ч.1 с. 43

6 этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
Выполняют устные и письменные вычисления.
а) устные вычисления. - в строчку: 3км2 46м2+ 2м213см2
б) письменные вычисления - с предварительным переводом в более мелкие меры
54га 15 а -28га57а

7 этап. Умножение и деление величины на число.
Рассматривают 2 случая:
а) устные;
б) письменные.

Рассмотрим современную методику изучение величины – площадь фигуры, на примере УМК «Школа России» Моро М.И., Волкова С.И., Степанова С.В. и др.

1 этап: Ознакомление с величиной на основе уточнения жизненных представлений учащихся.
Понятие «площадь фигуры» вводится в 3 классе. Учитель прикрепляет на доску две фигуры. Предлагаем сравнить их.
Чем похожи? (формой)
В чем разница? (цветом, размером)
Учитель сообщает, что на данном этапе под размером понимают площадь фигуры. Это место, которое фигура занимает на поверхности чего-либо. Дети увидят, что круги занимают разное место на доске, а значит площадь одно круга больше, другого меньше.

2 этап: Сравнение величин разными способами.
1). Сравнение «на глаз».
М3м ч1. стр. 56.
Для сравнения выбираются контрастные по площади фигуры. Можно предложить сравнить площади предметов находящихся в классе ( площадь окна и площадь стены, площадь двери)

2). Сравнение способом наложения
Фигуры сравниваются наложением одной на другую
М3М ч1. стр.56.

3). Использование различных мерок
Создаем проблемную ситуацию и видим, что первый и второй способы не удобны М3М ч1. стр.57.
Попробуем сравнить «на глаз», пробуем способом наложением (не получается, значит этими способами мы сравнить не сможем)
Говорим ученикам, что есть еще один способ сравнения площадей. Мы видим, что фигуры расчерчены на мерки (квадраты). Обратим внимание, что мерка одинаковые для обеих фигур. Дети подсчитывают количество мерок, поместившихся в каждой фигуре, и сравнивают эти числа

Далее надо давать упражнения на нахождение площадей с помощью мерок.
Происходит формирование представлений о площади плоской фигуры связывается с подсчетами числа единичных квадратов, на которые разбита каждая фигура М3М ч1. стр.56-57
Эти задания формируют у детей понятие о площади как о числе квадратных единиц, содержащихся в геометрической фигуре.

3 этап: Введение единой меры площади.
М3М ч1. стр.58.

Далее выдаем на парты фигуру, состоящую из целого числа квадратных сантиметров и по три модели квадратного см.
Для этого вводят палетку. Палетка - это прозрачная пластинка, разбитая на равные квадраты.
Полезно такую палетку изготовить с детьми на уроках труда. Наложив палетку на геометрическую фигуру, подсчитывают число целых и не целых квадратных сантиметров, которые в ней содержатся.

На следующем уроке знакомят с правилом нахождения площади прямоугольника.
М3Мч1. стр.60
Делаем вывод: Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину

Далее пользуясь этим правилом, учатся находить площадь прямоугольников. М3М ч1.стр.60

Выполняются упражнения на нахождение площади, пользуясь правилом. М3М ч.1. стр.60-62

4 этап: Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах одного наименования.
М3М ч.1. стр. 79

5 этап: Введение других единиц измерения величины. Перевод из одной единицы в другую.
М3Мч1. стр.66. Изучают сначала квадратный дециметр.

М3Мч1. стр.70. Изучают квадратный метр.
В 4 классе детей знакомят с квадратным километром и квадратным миллиметром.
М4Мч1. стр.39.
Изучают квадратный
километр.
М4Мч1. стр.39
Изучают квадратный
Миллиметр

На этом же этапе детей надо познакомить с аром и гектаром.
М4Мч2. стр.105

Итогом изучения данной темы является составление таблицы. Которую дети должны знать наизусть.
М4Мч1. стр.41
Поэтому разбирают способ вычисления этих значений. Любая единица площади – это квадрат с определенной стороной, надо найти его площадь.
Например: 1км2
1км2 – это квадрат со сторной 1 км. 1км – 1000м. Площадь квадрата = 1000м * 1000м = 1 000 000 м2

После составления данной таблицы детям предлагают выполнить задания следующих видов:
1) на преобразование единиц одного наименования в единицы других наименований: М4М ч1. стр.41
2) решение простых задач на определение площади (известны длина и ширина и ладо найти площадь фигуры, либо известна площадь и одна из сторон и требуется найти вторую сторону)
3) решение составных задач.
Зал и коридор имеют одинаковую длину. Площадь зала 300 м2, а площадь коридора 120 м2. Ширина зала 10 м. Чему равна ширина коридора?

На этом же этапе детей продолжают знакомить с палеткой, но здесь палетку используют для измерения площадей фигур с неровными краями
М4М ч1. стр.43
Запоминаем:
1.Посчитаем число полных квадратов.
2. Посчитаем количество неполных квадратов и разделим его на 2.
3. сложим числа, полученные на 1 и 2 шаге.

Упражнение на нахождение площади с неровными краями М4М ч1.стр.43

6 этап: Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
Изучают устные и письменные вычисления. В учебнике М.И.Моро правила сформулированы для действий с массой, длиной, временем, поэтому учитель аналогично объясняет действия с величинами площади.
А) устные вычисления – в строчку М4М ч1. стр.67

Б) письменные вычисления – с предварительным переводом в более мелкие меры
М4М ч1. стр.67
Вычисления письменные и устные М4м Ч.2. СТР 63

7 этап: Умножение и деление величины на число.
Рассматривают два случая:
А) устные
230 см2 * 4 = 23*4=92=920 см2
М3М ч.1. стр.79

Рассмотрим изучение величины – площадь фигуры на примере УМК «Перспектива» Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б.

1 этап: Ознакомление с величиной на основе уточнения жизненных представлений учащихся.
Знакомство с изучением площади проводится аналогично с программой УМК «Школа России» М.И.Моро.

2 этап: Сравнение величин разными способами
Изучают три способа сравнения величин:
А) «На глаз» М3Д ч2. стр17
Б) С помощью приема наложения М3Д ч2. стр17

В) С помощью различных мерок М3Д ч2. стр17

Упражнения для сравнения третьим способом – подсчитывание мерок (мерками уже служат не только квадрат, но и другие геометрические фигуры). М3Д ч2. стр.18-20

3 этап: Введение единицы измерений. Формирование измерительных навыков.
М3Д ч2. стр.69-70
Позднее вводят сразу три единицы измерений – квадратный сантиметр, квадратный дециметр, квадратный метр

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину.
М3Д ч2. стр.74
Пользуясь этим правилом, учатся находить площадь прямоугольника.
М3Д ч2. стр.76

4 этап: Сложение и вычитание величин, выраженных в одной единице измерения.
Например:
Площадь квадрата 24 см2, а площадь прямоугольника на 15 см2 больше. Найдите площадь прямоугольника.
24 см2 + 15 см2 = 39 см2
Площадь прямоугольника 32 см2, а площадь квадрата на 12 см2 меньше. Найдите площадь квадрата.
32 см2 – 12 см2 = 20 см2
М4Д ч.2. стр.96

5 этап: Введение других единиц измерений. Перевод из одной единицы в другую.
В учебнике 3 класса 1 часть, дети изучают километр и миллиметр. А темы «Квадратный километр» и «Квадратный миллиметр» учитель самостоятельно вводит новые понятия.
Составляют сводную таблицу мер площади. М4П ч2. стр. 93

Знакомят с аром и гектаром М4П ч2. стр.91
Упражнения для вычисления М4П ч2. стр.92-94

6 этап: Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
В учебнике примеры сложения и вычитания других величин, аналогично складываем и вычитаем величины площади. Авторы предлагают выполнять письменное вычисления без предварительного перевода в более мелкие меры.
М4Д ч.2. стр.92

7 этап: Умножение и деление величин на число
Аналогично с умножением и делением М4П ч2. стр. 67 и 87

Рассмотрим изучение величины – площадь фигуры на примере УМК «Перспективная Начальная школа » Чекин А.Л.

1 этап: Ознакомление с величиной на основе уточнения жизненных представлений учащихся.
Знакомство с изучением площади проводится аналогично с программой УМК «Школа России» М.И.Моро.

2 этап: Сравнение величин разными способами.
А) «На глаз» или с помощью ощущений М3Ч ч2. стр.52-53

Б) С помощью приемов приложения или наложения
М3Ч ч2. стр.54
В) с помощью разных мерок
М3Ч ч2. стр.54

3 этап: Введение единицы измерения. Формирование измерительных навыков.
М3Ч ч2.стр55. Вводят единицу площади-квадратный сантиметр
Далее идут упражнения
Для формирования
навыка измерений
М3Ч ч2.стр.55.

М3Ч ч2. стр. 60-61
вводят палетку- прозрачную пленку расчерченную на см2

Гораздо позже знакомят с правилом нахождения площади прямоугольника (уже после изучения других единиц измерения)
М3Ч ч2. стр.93

4 этап: Сложение и вычитание величин, выраженных в одной единице измерений.
М3Ч ч2. стр.64

5 этап: Введение других единиц измерений величины. Перевод из одной единицы в другую.
М3Ч ч2. стр.67 М3Ч ч2. стр.69
знакомят детей знакомят детей с
с квадратным дециметром квадратным метром

М3Ч ч2. стр.83 М3Ч ч2. стр.8
знакомят детей знакомят детей с
с квадратным дециметром квадратным миллиметром

После изучения каждой новой единицы измерения. Учащиеся составляют сводную таблицу мер площади.

Позднее в 4 классе детей продолжают знакомить с палеткой. Используют ее для измерения фигур с неровными краями. М4Ч ч.2. стр.84-87

6 этап: Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
Дети выполняют устные вычисления ( в столбик, но без перевода в мелкие меры) М3Ч ч.2. стр. 70
Дети выполняют письменные вычисления – с предварительным переводом в более мелкие меры М3Ч ч.2. стр.86

7 этап: Умножение и деление величин на число.
А) устное вычисление
Б) письменное вычисление