Уравнения и неравенства в целых числах

1. Соображения делимости
2. Метод разложения на множители
3. Графический метод решения
4. Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных
5. Метод перебора

Соображения делимости
Решение.
После проверки получаем одно целое положительное решение x = 1, y = 37.
Ответ: (1; 37).

Метод разложения на множители
Решение.
Из первого условия следует, что m(2n + 3) = 10, причём
m – целое, а 2n + 3 – целое и нечётное. Следовательно, возможны следующие варианты:
Найти все целые числа m и n такие, что
2mn + 3m = 10 и
Ответ: m = 10, n = -1.

Графический метод решения
Решение.
Найдём сначала все целые допустимые пары:
Изобразим множество решений последней системы на координатной плоскости:
Целые решения:(1; -1), (2; 1), (3; 0), (2; 0).
Проверим эти решения, подставляя их в исходное уравнение:
Ответ: (2; 0).

Графический метод решения
Найти все целочисленные решения системы
Решение.
Найдем все целые допустимые пары:
Изобразим множество решений системы на координатной плоскости:
Целые решения: (1; 1), (2; 1), (3; 1), (0; 2), (1; 2), (2; 2), (3; 2), (4; 2), (4; 3).
Точки (0; 2), (1; 1), (3; 1), (4; 2) не удовлетворяют первому неравенству системы, так как лежат на окружности.
Ответ: (1; 2), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 3).

Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных
Найти все целочисленные решения уравнения
2x2 – xy – 3y2 = 7.
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно x, тогда D = 25y2 + 56. Так как нас интересуют целочисленные решения, то
25y2 + 56 = K2;
(K – 5y)(K + 5y) = 56.
Рассмотрим все варианты разложения числа 56 на целые множители:
В итоге получим, что целые решения имеют две системы:
Подставляя эти значения в исходное уравнение, имеем:
Решение.
Ответ: (-2; 1), (2; -1).

Метод перебора
Найти все целочисленные решения системы
Решение.
Разрешим второе неравенство системы сначала относительно y:
Целочисленное решение есть: x = 3. Оно удовлетворяет и (3).
Ответ: (3; 2), (2; 3), (3; 3), (4; 3), (5; 4).