Моделирование линейных звеньев. Лекция 9

Литература
Монаков А.А. Основы математического моделирования радиотехнических систем. Учебное пособие. – СПб.: ГУАП, 2005. – 100с.
Глава 2, Раздел 2.1:
Моделирование линейных звеньев

Литература
А.Б.Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. СПб, Питер, 2002. — 608 с.: ил.
А.Б.Сергиенко.
Signal Processing Toolbox – обзор:
http://matlab.exponenta.ru/signalprocess/book2/index.php

Литература
Ричард Лайонс - Цифровая обработка сигналов / Understanding Digital Signal Processing, 2006
Глава 5. Фильтры с импульсной характеристикой конечной длины
Глава 6. Фильтры с импульсной характеристикой бесконечной длины
Глава 7. Специальные КИХ-фильтры нижних частот

Преобразование сигналов
Любое обрабатывающее радиосигнал устройство может быть представлено как совокупность линейных и нелинейных звеньев
Формально отличие в дифференциальных уравнениях
(м.б. линейные / нелинейные):
Но важно следствие:
при действии суммы сигналов отклик звена есть суперпозиция откликов на каждое воздействие в отдельности:

Коэффициент передачи
Линейное звено описывается дифференциальным уравнением:
Нам достаточно научиться его решать для воздействия
а потом воспользоваться преобразованием Фурье и линейностью
Решение лежит на поверхности -
откуда

Коэффициент передачи
Нетрудно заметить, что в этом случае
Да это же не только комплексная амплитуда, но ещё и
коэффициент передачи (transfer function)!
Сделаем замену:
Благодаря линейности для сигналов с произвольным спектром имеем

Коэффициент передачи
clear all; clc; close all;
RC = 1e-6;
a = [RC 1];
b = [1];
freqs(b, a);
В MATLAB есть функции
для работы с линейными
звеньями

Коэффициент передачи
clear all; clc; close all;
RC = 1e-6;
a = [RC 1]; b = [1];
Fs = 100; Fmax = 4e5; f = 0:Fs:Fmax;
H = freqs(b, a, 2*pi*f);
figure(1); subplot(2,1,1);
plot(f/1e6, 20*log10(abs(H)));
subplot(2,1,2);
plot(f/1e6, rad2deg(unwrap(angle(H))));

Функция unwrap

Импульсная характеристика (ИХ)
А можно и через преобразование Лапласа:
Умножению в частотной области соответствует свертка во временной
Для нашей RC-цепи и П-импульса:
Обратно:
Это интегрирование по линии, параллельной мнимой оси.
Выбором сигмы все особенности подынтегральной функции
оставляют слева от контура интегрирования.

Импульсная характеристика
Для построения импульсной характеристики можно воспользоваться функциями Сontrol System Toolbox
RC = 1e-6; a = [RC 1]; b = [1];
sys = tf(b,a);
[y,t] = impulse(sys); % Без ‘[y, t] =‘
% сразу построит график
figure(1); plot(t, y);
xlabel('t, s'); ylabel('h(t)');
grid on

Нули и полюсы
Функцию передачи можно представить в виде
здесь
– коэффициент усиления,
– нули,
– полюсы
устойчивость
ZPLANE – отображение нулей и полюсов дискретной системы на комплексной плоскости
zplane(z,p)
zplane(b,a)
zplane(Hd)
[hz,hp,ht] = zplane(z,p)

Цифровые фильтры
Всё это здорово, наглядно и удобно описывает аналоговые системы, но нам же нужно уметь их моделировать – получать отклик на сигнал
Нужна модель, для которой это приближенное равенство выполняется как можно точнее
И входные, и выходные сигналы в машине мы представляем в виде дискретных последовательностей:
Да это же задача синтеза цифрового фильтра по аналоговому прототипу!

Импульсная характеристика
Т.к. система линейна, то может описываться только уравнением вида:
Непрерывные линейные системы характеризуются
импульсной характеристикой – откликом на дельта-функцию.
Для дискретной системы можем найти отклик на единичный импульс:
– ФНЧ
clear all; close all; clc
x = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
km = 1:length(x);
for k = km
if k > 1
y(k) = 0.7*y(k-1) + 0.3*x(k);
else
y(k) = 0.3*x(k);
end
end
figure(1); stem(km, y)

impz(…)
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
h = impz(b, a, 15);
figure(1); stem(h);
xlabel('k'); ylabel('h_k'); grid on

Свертка: conv(…), deconv(…)
Можем воспользоваться функциями conv и deconv
clear all; close all; clc
a = [-0.7]; b = [0.3];
xh = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
km = 2:length(xh); h(1) = b(1)*xh(1);
for k = km
h(k) = -a(1)*h(k-1) + b(1)*xh(k);
end
x = [0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];
y = conv(x, h);
xdec = deconv(y, h);
figure(1)
stem(1:length(y), y); hold on
stem(1:length(xdec), xdec, 'r'); hold off
grid on; legend('y', 'x'); xlabel('k')
Т.к. система линейная, то
нынешний выход есть сумма
реакций:

Transfer function
Вспоминаем РЦС, z-преобразование и его свойства:
Или из уравнения:
Связь с преобразованием Фурье:

Transfer function
clear all; close all; clc
a = [-0.7]; b = [0.3];
xр = [1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
km = 1:length(x);
for k = km
if k > 1
h(k) = -a(1)*h(k-1) + b(1)*xh(k);
else
h(k) = b(1)*xh(k);
end
end
T = 0.001; f = 0:(1/T/100):(1/T);
z = exp(1i*2*pi*f*T);
H2 = 0;
for k = km
H2 = H2 + h(k) * z.^-k;
end
H1 = 0.3 ./ (1 - 0.7 * z.^-1);
figure(1); plot(f, abs(H1), f, abs(H2), '*')
xlabel('f, Hz'); ylabel('|H|'); grid('on');

freqz(…)
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
H = freqz(b, a);
T = 0.001;
f = ( (1:length(H)) - 1)/ length(H)*1/T/2 ;
figure(1); plot(f, abs(H));
ylabel('|H|'); grid on; xlabel('f, Hz');

filter(…)
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
x = [0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0];
y = filter(b, a, x);
figure(1)
stem(1:length(y), y); hold on
stem(1:length(x), x, 'r'); hold off
grid on; legend('y', 'x'); xlabel('k')

Нули и полюсы
clear all; close all; clc
a = [1 -0.7]; b = [0.3];
[z, p, k] = tf2zp(b, a);
% zplane(b, a);
zplane(z, p);
устойчивость
Коэффициенты ПФ – строки,
нули/полюсы - столбцы
TF2ZP

Метод инвариантности h(t)
Реализовывать цифровые фильтры в MATLAB научились, вернемся к задаче синтеза цифрового фильтра по аналоговому прототипу
Метод инвариантности импульсной характеристики:
б)
а)

Метод билинейного преобразования
Поделим на
Да это же пачки интеграторов!

Метод билинейного преобразования
А давайте аналоговый интегратор заменим цифровым!
Интегрировать будем методом трапеций:
Итого, в качестве s должны использовать:
Это преобразование и называется билинейным

Метод билинейного преобразования
Полуплоскость переменной s отображается в окружность единичного радиуса в плоскости переменной z
Есть явление деформации оси частот
Можно заранее скомпенсировать
в аналоговом прототипе

Метод билинейного преобразования
Пример. Смоделируем RC цепь, что использовали ранее.
clear all; clc; close all;
RC = 1e-6;
T = RC/3;
as = [RC 1]; bs = [1];
[Hs, w] = freqs(bs, as);
az = [1+2*RC/T, 1-2*RC/T]; bz = [1, 1];
Hz = freqz(bz, az);
figure(1)
plot(w/2/pi/1000, abs(Hs), ...
((1:length(Hz)) - 1)/ length(Hz) * 1/T/2/1000, abs(Hz))
xlabel('f, kHz'); ylabel('|H|')
legend('|H(s)|', '|H(z)|'); grid on

Метод замены дифференциалов
Если 1/s – интегратор, то s – дифференциатор!
Итого, в качестве s должны использовать:
Не стоит использовать когда:
нули передаточной функции аналогового прототипа имеют вещественную часть больше удвоенной частоты дискретизации
- нулей у передаточной функции аналогового прототипа нет

Метод замены дифференциалов
Пример. Смоделируем RC цепь.
…
az = [1+RC/T, -RC/T]; bz = [1];
Hz = freqz(bz, az);
…

Ограничение ИХ
При использовании перечисленных методов мы можем ограничивать длительность импульсной характеристики.
Получаем при этом КИХ-фильтр со всеми его плюсами. НО!
Но это же применение
прямоугольного окна!
А значит и
коэффициент передачи
свернется со спектром окна!
Свертка АЧХ БИХ фильтра и АЧХ окна:

Ограничение ИХ
При использовании перечисленных методов мы можем ограничивать длительность импульсной характеристики.
Получаем при этом КИХ-фильтр со всеми его плюсами. НО!
Получим эффект Гиббса
Выбором окна можем управлять расползанием спектра и неравномерностью

Выбор окна
Выбором окна можем управлять расползанием спектра и неравномерностью