Логарифмы

Джон Непер - изобретатель системы
логарифмов, основанной на установ- лении соответствия между арифмети- ческой и геометрической числовыми прогрессиями.
В «Описании удивительной таблицы
логарифмов» он опубликовал первую
таблицу логарифмов (ему же принадлежит и сам термин «логарифм»). Объяснение таблицы было дано в его сочинении «Построение удивительной
таблицы логарифмов», вышедшем в 1619. Таблицы логарифмов, насущно необходимые астрономам, нашли немедленное применение.
Джон Непер
(1550-1617)

Основное логарифмическое
тождество

Логарифмом положительного числа b по основанию а, где а>0, а≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.
alogab = b
Это равенство называют основным логарифмическим тождеством. Оно справедливо при b>0, а>0, а≠1.
Определение логарифма

Определение логарифма
Из определения логарифма следует, что нахождение
x = logab
равносильно решению уравнения
ax = b .
Например:
log28 = 3, потому что 23 = 8 .

4log45 =
Используя основное логарифмическое
тождество, найдите значения выражения
5
3log317 =
17
132log1316 =
256
3-2log35 =
0,04

Логарифмирование
Логарифмированием называют действие
нахождения логарифма числа.
Читается: логарифм b по основанию a.
log525=2,
log4(1/16)=-2,
log1/327 = -2,
так как 52=25
так как 4-2=1/16
так как (1/3)-2=27

Найдите значения выражения
log5626=
log327=
log0,54=
log100,001=
log111=
log381=
4
3
-3
-2
0
4

Логарифмирование
Найти логарифмы чисел b по основанию а
Ответ:
2,25
Ответ:
1,5
Ответ:
-5

Логарифмирование
Найти x
По определению логарифма
Так как
Откуда
то

При каких значениях х существует
логарифм
Не существует

Доказательство
основных свойств логарифмов

Логарифм произведения положительных
чисел равен сумме логарифмов множителей
Логарифм произведения
Пусть а>0, a=1, c>0. Тогда
Докажем справедливость формулы (1)
(1)

Логарифм произведения
Известно:
Перемножим почленно равенства (2) и (3)
(2)
(3)
Формула (1) доказана

Логарифм произведения

Логарифм частного двух положительных
чисел равен разности логарифмов делимого
и делителя
Логарифм частного
Пусть а>0, a=1, c>0. Тогда
(1)
Докажем справедливость формулы (1)

Логарифм частного
Известно:
Разделим почленно равенства (2) и (3)
(2)
(3)
Формула (1) доказана

Логарифм частного

Логарифм степени с положительным
основанием равен показателю степени,
умноженному на логарифм основания
степени
Логарифм степени
Пусть а>0, b>0. r –любое действительное
число. Тогда
(1)
Докажем справедливость формулы (1)

Логарифм степени
Возводя основание логарифмического
тождества
в степень r получаем:
откуда по определению логарифма
следует формула (1):

Логарифм степени

Переход к новому основанию
Для перехода от логарифма по одному
основанию к логарифму по другому
основанию используется формула:
где a>0, a≠1, b>0, c>0, c ≠1
(1)
Докажем справедливость формулы (1)

Переход к новому основанию
Запишем основное логарифмическое
тождество
Возьмем от обеих его частей логарифмы по
основанию с
Используя свойство логарифма степени,
получаем:

Переход к новому основанию
Следствие.
При b=c –происходит перестановка
основания и логарифмируемого выражения

Переход к новому основанию

Свойства логарифмов

1)
3log317 =
17;
132log1316 =
256
(13log1316)2=
=162 =
Примеры:
a>0, a≠1, b>0

2)
1
Пример:
1
3)
0
Пример:
0
a>0, a≠1
a>0, a≠1

4)
Пример:
5)
Пример:
a>0, a≠1, b>0
a>0, a≠1, b>0, r-любое действительное число

6)
Пример:
a>0, a≠1, b>0, r - любое действительное
число

7)
Пример:
a>0, a≠1, b>0,c>0

8)
Пример:
a>0, a≠1, b>0,c>0

9)
Пример:
a>0, a≠1, b>0,c ≠1

10)
Пример:
a>0, a≠1, b>0, b ≠1

11)
Пример:
a>0, a≠1, c>0

12)
Пример:
a>0, a≠1, b>0