неопред интеграл

Первообразной функцией по отношению к данной функции у = f(x) называется такая функция F(x), производная от которой равна данной функции, т.е. F′(x) = f(x).
Для данной функции у = f(x) первообразных функций бесчисленное множество, т.к. любая из функций F(x) + С, также является первообразной для у = f(x).

Совокупность всех первообразных
F(x) + С для данной функции у = f(x) называется ее неопределенным интегралом обозначается символом:
где f(x)dx - называется подынтегральным выражением,
функция f(x) - подынтегральной функцией.

Геометрический смысл неопределенного интеграла.
Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции
у = F(x) вдоль оси ординат (рис.3)

Основные свойства неопределённого интеграла
Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Свойство 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const:
Свойство 4. Линейность интеграла.

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование – это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции, а также основных свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов.

Непосредственное интегрирование
Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции:
Деление числителя на знаменатель почленно;
Применение формул сокращенного умножения;
Применение тригонометрических тождеств.

Пример № 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.
Используя свойство неопределенного интеграла, вынесем за знак интеграла постоянный множитель.
Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:

Пример № 2.
Решение:

Пример № 3.
Решение:

Пример № 4.
Решение:

Метод подстановки

Замена переменной
(метод подстановки)
Замена переменной (метод подстановки) – это метод, заключающийся во введении новой переменной с целью преобразования данного интеграла в табличный.

Замена переменной
(метод подстановки)
Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном выражении содержится сложная функция, тогда ее промежуточный аргумент и надо обозначить как новую переменную.

НАПРИМЕР
Далее необходимо выполнить следующие действия:
Найти дифференциал новой переменной ;
Записать прежний интеграл, используя только переменную t, если подстановка сделана правильно, то полученный интеграл должен быть табличным;
используя таблицу интегралов, записать решение для подынтегральной функции ;
Осуществить обратную подстановку, заменив переменную t.

Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле - необходимо выполнить следующие действия:
Ввести новую переменную t = t (x);
Найти дифференциал новой переменной dt = t′ (x)dx;
вычислить новые значения пределов интегрирования:
α = t (a) и β = t (b)
Записать прежний интеграл, используя только переменную t и новые пределы α и β;
Используя таблицу интегралов, записать решение для полученной подынтегральной функции;
Применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислить значение определенного интеграла.
Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу.

Пример № 5. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.
Сделаем замену переменной t = sin x, тогда
dt = (sin x)′dx = cos x dx.
Исходный интеграл имеет вид:
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция.
Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:

Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
Ответ:

Пример № 6.
Решение:

Пример № 7.
Решение:

Интегрирование по частям

3. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы:

Данный метод интегрирования основан на тождестве:
где u = f(x) и v = φ(x) - две функции, имеющие на данном промежутке производные.
Взяв интеграл от обеих частей данного тождества, будем иметь:

Пример № 8.
Решение:

Ответ:

Пример № 9.
Решение:
Ответ: