Слайд 2Первообразной функцией по отношению к данной функции у = f(x) называется такая
![Первообразной функцией по отношению к данной функции у = f(x) называется такая](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-1.jpg)
функция F(x), производная от которой равна данной функции, т.е. F′(x) = f(x).
Для данной функции у = f(x) первообразных функций бесчисленное множество, т.к. любая из функций F(x) + С, также является первообразной для у = f(x).
Слайд 3 Совокупность всех первообразных
F(x) + С для данной функции у
![Совокупность всех первообразных F(x) + С для данной функции у = f(x)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-2.jpg)
= f(x) называется ее неопределенным интегралом обозначается символом:
где f(x)dx - называется подынтегральным выражением,
функция f(x) - подынтегральной функцией.
Слайд 4 Геометрический смысл неопределенного интеграла.
Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных
![Геометрический смысл неопределенного интеграла. Геометрически, неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-3.jpg)
кривых на плоскости, полученных путем параллельного переноса графика функции
у = F(x) вдоль оси ординат (рис.3)
Слайд 5Основные свойства неопределённого интеграла
Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
Свойство 2.
![Основные свойства неопределённого интеграла Свойство 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-4.jpg)
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Слайд 6Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const:
Свойство 4.
![Свойство 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс const: Свойство 4. Линейность интеграла.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-5.jpg)
Линейность интеграла.
Слайд 13 Непосредственное интегрирование – это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной
![Непосредственное интегрирование – это метод, основанный на применении тождественных преобразований подынтегральной функции,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-12.jpg)
функции, а также основных свойств неопределенного интеграла и табличных интегралов.
Слайд 14Непосредственное интегрирование
Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции:
Деление числителя на знаменатель
![Непосредственное интегрирование Наиболее часто используются следующие преобразования подынтегральной функции: Деление числителя на](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-13.jpg)
почленно;
Применение формул сокращенного умножения;
Применение тригонометрических тождеств.
Слайд 15Пример № 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.
Используя свойство неопределенного интеграла,
![Пример № 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования. Используя свойство неопределенного](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-14.jpg)
вынесем за знак интеграла постоянный множитель.
Затем, выполняя элементарные математические преобразования, приведем подынтегральную функцию к степенному виду:
Слайд 20Замена переменной
(метод подстановки)
Замена переменной (метод подстановки) – это метод, заключающийся во
![Замена переменной (метод подстановки) Замена переменной (метод подстановки) – это метод, заключающийся](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-19.jpg)
введении новой переменной с целью преобразования данного интеграла в табличный.
Слайд 21Замена переменной
(метод подстановки)
Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном выражении
![Замена переменной (метод подстановки) Чаще всего этот метод используется, если в подынтегральном](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-20.jpg)
содержится сложная функция, тогда ее промежуточный аргумент и надо обозначить как новую переменную.
Слайд 22НАПРИМЕР
Далее необходимо выполнить следующие действия:
Найти дифференциал новой переменной ;
Записать прежний интеграл,
![НАПРИМЕР Далее необходимо выполнить следующие действия: Найти дифференциал новой переменной ; Записать](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-21.jpg)
используя только переменную t, если подстановка сделана правильно, то полученный интеграл должен быть табличным;
используя таблицу интегралов, записать решение для подынтегральной функции ;
Осуществить обратную подстановку, заменив переменную t.
Слайд 23 Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле - необходимо выполнить следующие действия:
Ввести
![Подстановка (замена переменной) в определённом интеграле - необходимо выполнить следующие действия: Ввести](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-22.jpg)
новую переменную t = t (x);
Найти дифференциал новой переменной dt = t′ (x)dx;
вычислить новые значения пределов интегрирования:
α = t (a) и β = t (b)
Записать прежний интеграл, используя только переменную t и новые пределы α и β;
Используя таблицу интегралов, записать решение для полученной подынтегральной функции;
Применив формулу Ньютона-Лейбница, вычислить значение определенного интеграла.
Замечание. При вычислении определённых интегралов с помощью подстановки нет необходимости возвращаться к первоначальному аргументу.
Слайд 24Пример № 5. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной.
Сделаем замену переменной
![Пример № 5. Найти неопределенный интеграл, используя метод замены переменной. Сделаем замену](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-23.jpg)
t = sin x, тогда
dt = (sin x)′dx = cos x dx.
Исходный интеграл имеет вид:
Таким образом, мы получили неопределенный интеграл табличного вида: степенная функция.
Используя правило нахождения неопределенного интеграла от степенной функции, найдем:
Слайд 25Сделав обратную замену, получим окончательный ответ:
Ответ:
![Сделав обратную замену, получим окончательный ответ: Ответ:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-24.jpg)
Слайд 293. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся
![3. Метод интегрирования по частям Метод интегрирования по частям – это метод, заключающийся в использовании формулы:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-28.jpg)
в использовании формулы:
Слайд 30Данный метод интегрирования основан на тождестве:
где u = f(x) и v =
![Данный метод интегрирования основан на тождестве: где u = f(x) и v](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/1183079/slide-29.jpg)
φ(x) - две функции, имеющие на данном промежутке производные.
Взяв интеграл от обеих частей данного тождества, будем иметь: