Прямая и плоскость

Все построения на плоскости производятся чертежными инструментами и построения получаются точными, а вот выполнять построения в пространстве можно схематически. Поэтому термины «провести плоскость (прямую)» употребляют в смысле «доказать существование плоскости (прямой)», удовлетворяющей поставленным условиям.

Возможные расположения прямых в пространстве:

Три случая взаимного расположения прямых в пространстве

прямые в пространстве

Определение:
Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.
Определение:
Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и не параллельны.
Определение:
Две прямые называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Задача: Через данную точку К провести прямую, параллельную данной прямой а
Дано:
К ∉ a
Доказать:
∃ ! b: К ∈ b, b ⎜⎜ a
Доказательство:
Построение
1.Проведем через прямую a и т. К плоскость α. (по Сл.1)
2.Проведем через т. К в плоскости α прямую b, b ⎜⎜a.(А планиметрии)
Единственность (от противного)
1.Пусть ∃ b1: К ∈ b1 , b1 ⎜⎜a .Через прямые a и b1 можно провести плоскость α1 (по Сл.3)
2. Прямая a , т.К ∈ α1; ⇒ α1= α (по точке и прямой в пространстве) (СЛ.1).
3. ⇒ b = b1 (А параллельных прямых). Теорема доказана.
К
a
b

ТЕОРЕМА 1. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.
Обратите внимание: через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость.
Дано:
Доказать:

II. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Прямая лежит в плоскости.
Прямая пересекает плоскость.
Прямая не пересекает плоскость.
Множество общих точек.
Единственная общая точка.
Нет общих точек.
γ
а
γ
а
М
γ
а
а ⊂ γ
а ∩ γ = М
а ⊄ γ

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости.
Рассмотрим следующий признак параллельности прямой и плоскости

ТЕОРЕМА 2. Если прямая параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны.
Дано:
Доказать:

ТЕОРЕМА 3 (обратная)
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Дано:
⎜⎜
β ∩ α =
Доказать:
⎜⎜
Доказательство:
1) а, b ⊂ β
а не может ∩ b,
так как иначе а ∩ α,
что противоречит условию.
Следовательно а ⎜⎜в
Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 4. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых.
Дано:
Доказательство:
Доказать:
а ⎜⎜b
α ∩ β = с
с ⎜⎜ а,
c ⎜⎜b
Через а проведена α,
через b – β,
причем α ∩ β = с
По признаку || прямой и плоскости а || β, тогда с ⎜⎜а (Т.3)
Аналогично доказывается с||b

Доказательство:
Рассмотрим случай. в, с ∈ β; а, с ∈ α
1. Возьмем т.М, М ∈ а
Через т.М и с проведем плоскость α, b и М проведем плоскость β;
2. Т 4 : α ∩ β = MN (линия пересечения плоскостей ⎜⎜ b и с)
3. Через т.М нельзя провести двух различных прямых ⎜⎜с, поэтому MN и а совпадают.
4. Но так как (MN ) ⎜⎜ b, то и а ⎜⎜b ⇒ в ⎜⎜с
Теорема доказана.
Теорема 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Дано:
а ⎜⎜ с,
b ⎜⎜ c
Доказать:
а ⎜⎜b

а
М
Прямая лежит в плоскости
Прямая пересекает плоскость
Сколько общих точек имеют прямая и плоскость?

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?
1. По трем точкам
2. По прямой и не принадлежащей ей точке.
3. По двум пересекающимся прямым.
4. По двум параллельным прямым.

Задание 1 Вставьте пропущенные слова
Единственную плоскость можно задать через три точки, при этом они на одной прямой.
2) Если точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости.
3) Две различные плоскости могут иметь только одну общую
4) Прямые являются в пространстве, если они не пересекаются и в одной плоскости.
5) Если прямая a лежит в плоскости α, прямая b не лежит в плоскости α, но пересекает ее в точке
В
α, то прямые а и b
не лежат
две
прямую
параллельными
лежат
скрещивающиеся

Задание 2
Дано: ВС=АС,
СС1⎜⎜ АА1,
АА1=22 см
Найти: СС1
Решение:
АА1⎜⎜СС1,
АС = ВС
⇒ С1– середина А1В
(по т.Фалеса) ⇒
С С1- средняя линия ∆АА1В ⇒
С С1= 0,5АА1 = 11 см
Ответ: 11см.