概率论与数理统计

惟真惟实
一、什么是概率？

二、生活中的概率问题
例1 ：
北京奥运会圆满闭幕，某玩具厂商为推销其生产的福娃玩具，特举办了一次有奖活动，设立了一个转盘，如图所示被等分成12个扇形区域。顾客随意向转盘内投掷一点，如果落在转盘红色区域，顾客则可获得一套福娃玩具。问顾客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

例2
十一大促销，在淘宝上买的货物终于到了，快递发短信给你：下午4点到5点将到达您的送货地址，请注意接收。那您等候时间不超过10分钟的概率是多少？

生活中的概率问题
例3
在2014年世界杯半决赛第二场的比赛中，阿根廷队和荷兰队在大战120分钟后仍然战平，双方进入点球大战，荷兰队在接下来的4次点球机会中，至少射入2次的概率是多少？

纯净水在标准大气压下，加热到100摄氏度，沸腾的概率是多少？

必然现象与随机现象
在一定条件下，某些事情一定发生或一定不发生的现象。
在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象。
必然现象：
随机现象：
Necessity Phenomenon
Random Phenomenon

任务与研究方式
概率论与数理统计的任务:
研究和揭示随机现象的统计规律性。
从数量的侧面研究随机现象统计规律。
研究方式：
The Task of Probability and Statistics
Statistics Law
Study manner

绪 论 篇
概 率 论 起 源
发 展 简 史 应 用 前 景
学习方法指导

概 率 论 起 源
概率论与数理统计是一门古老的学科，它起源于十七世纪资本主义上升的初期，这时航海商业有了很大的发展，关闭的封建社会经济正在被航海商业经济所取代。然而航海商业是冒风险的事业，人们自然要关心大量投资是否有利可图？怎样估计出现各种不幸事故与自然灾害的可能性？在桥牌活动中，经常需要判断某种花色在对方手中的分配等等。从某种意义上讲，概率论与数理统计正是从研究这类问题开始的。
Origin

公元前1500年 古埃及
“猎犬与胡狼”
公元前1400年 古埃及
骰子产生
骰子：对面之和为7
公元前1200年 用脚上的距骨来做骰子
随机发生器——骰子的产生
概率思想的萌芽——文艺复兴时期
意大利 1477年 但丁《神曲》
在该书的“编印缘起”中讲到了投掷三颗骰子可能出现的各种结果.
发 展 简 史
Simple history

代表人物
卡尔达诺（1501-1576）意大利数学和医学
教授
1526年 《机会性游戏手册》 1663年出版
伽利略 1613年和1623年之间 《关于骰子游戏的思想》
他解释了在抛掷三颗骰子时为什么会有216种同等可能的结果，以及为什么三颗骰子的某些和数的出现看来似乎有同样大小的可能性，而玩骰子的人们却认为不是同等可能。比如和数为9和和数为10哪个更占优势？

概率的产生
点问题
对于数学中一个非常特别的问题的解法的探求成为数学化的概率科学产生的标志之一，这个问题被称作“点问题”。
点问题的起源故事
话说，1654年法国的一位军人德.梅勒， 语言学家、古典学者

德.梅勒和他的一个朋友每人出赌注30个金币，两人各自选取骰子中的一个点数，谁先掷出该点数次数多，谁就赢得全部赌注。德.梅勒选的点数“5”，他的朋友选择的点数“3”。
在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？

帕斯卡 法国“最伟大的天才”
费马 业余数学家之王
两人在通信中正确解决了“点问题”，还创造了一种研究的传统——用数学方法（主要是组合数学）研究和思考机会性游戏。被称为“数学史上的一个里程碑”。

惠更斯（荷兰） 1657年 《论掷骰子游戏中的计算》——概率论中最早的论著
早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费马和惠更斯，这一时期被称为组合概率时期
概率的发展
瑞士数学家族——贝努利家族
雅可布.贝努利
提出“贝努利大数定律”，并花了20年的时间来证明。1713年，出版《猜度术》。
尼古拉.贝努利
提出著名的“圣彼得堡问题”

拉普拉斯（法国）
明确给出概率的古典定义
证明了“棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理”，建立了观测误差理论和最小二乘法
1812年 出版《分析的概率理论》
成为严谨的学科
1906年 俄数学家马尔科夫提出“马尔科夫链”
前苏联数学家辛钦(1894-1959)提出“平稳过程理论”以及“辛钦大数定律”
20世纪初 完成了勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论
1934年

1933年 柯尔莫哥洛夫 《概率论基础》
首次给出概率的测度论式定义和一套严密的公理化体系，其公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支。
电子计算机的问世，进一步加速了概率论与数理统计的发展。六十年代后，形成了许多新的统计分支：时间序列分析、统计推断、稳健统计、投影寻踪等。

应 用 前 景
概率论与数理统计应用呈现出极其壮观的局面，尤其在质量管理、计量经济学、计量心理学、金融数学方面起着重要的作用。数理统计已渗透于工业统计、农业统计、水文统计、统计医学、统计力学、统计物理学、统计化学、统计教育学、统计体育学、统计心理学等许多领域。气象预报、产量预报、地震预报、石油勘探开发、可靠性工程等凡是有数据需要处理的地方，都离不开概率统计。因此概率论与数理统计作为一门应用数学课程是非常重要的。
Prospect

学习方法指导
注意加强前后知识的联系，善于把新问题化作老问题加以解决，掌握解决处理实际问题的一般方法，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
理解实质 掌握内涵 循序渐进
抓住典型 触类旁通 开拓思路
学习概率论与数理统计重点要理解掌握它的基本概念、基本理论和常用统计方法的具体应用。
善于分析 寻找规律 勇于创新

使用教材及参考书
教材：《随机数据处理方法》（第三版）石大出版社，王清河等编著。
参考书：1.《概率论与数理统计》（第三版）高教出版社，盛骤等编。
2. Introduction to Probability and Statistics, Sixth Edition ,Mendenhall .
3.《概率论与数理统计学习指导》（胶印本）常兆光、王清河等编著

概 率 论 篇
第一章 随机事件与概率
第二章 随机变量及其分布
第三章 随机变量的数字特征
第四章 大数定律与中心极限定理

第一章 随机事件与概率
随机试验与随机事件
频率与概率
等可能概型、几何概型
条件概率
事件的独立性
综 合 练 习

§1.1 随机试验与随机事件
随机试验
随机事件
样本空间
事件之间的关系及运算
Random Experiments and Random Events
Sample Space

Random Experiments

Random Events
例 投掷一枚骰子，观察可能出现的点数
1. 事件A：出现的点数为奇数
2. 事件B：出现的点数小于4
3. 事件
:出现1点
4. 事件
:出现的点数为i(i=2,3,4,5,6)
当事件
或
发生时，A发生，即

:{H}
:{T}
依次投掷两枚硬币的基本事件:
:{HH}
:{HT}
:{TH}
:{TT}
事 件
分 类
投掷一枚硬币的基本事件:
投掷一枚骰子的基本事件和复合事件
事件
和事件A：出现的点数为奇数

需要指出的是

Sample Space
样本空间:
由试验所有可能结果构成的集合称为样本空间，通常用符号Ω 表示，Ω中的每个元素称为样本点。
基本事件:
只包含一个样本点的事件称为基本事件

需要指出的是：
Aim

作业：
以小组为单位，在相同
的条件下扔一枚均匀的
硬币100次，统计正面、反面
出现的次数。

CH1

例1-6 设A,B,C 为三个事件，试用事件之间的运算关系表示下列事件
（1）A发生而B与C都不发生；
（2）A,B,C恰有一个发生；
（3）A,B,C至少有一个发生；
（4）A,B,C至多有两个发生。
思考： A,B,C 都不发生与A,B,C 不都发生的区别

§1.2 频率与概率
一.频 率
二.概率的统计性定义
三.概率的公理化定义
CH1
Frequency and Probability

经典试验：
掷一枚均匀的硬币，观察正面（记为H）、反面（记为T）出现的情况。

频率定义：

Property

需
要
指
出
的
是

Axiomatize Definition

加法公式