Математические основы ТАУ (продолжение)

Лекция 6. Математические основы ТАУ (продолжение).
План лекции:
Дифференциальные уравнения
Передаточные функции
Временные характеристики
Частотные характеристики.

1. Дифференциальные уравнения.
Существуют следующие формы математического описания динамических свойств линейных звеньев и систем:
дифференциальные уравнения
передаточные функции
временные характеристики
частотные характеристики.

Математическая связь между выходной и входной величинами и их производными по времени для большинства тепловых объектов и промышленных регуляторов составляется на основе общих законов термодинамики, гидравлики, электротехника и приближенно может быть описана с помощью линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
(1)
1. Дифференциальные уравнения.

В качестве примера составим дифференциальное уравнение для системы: в бак поступает жидкость в количестве Q1 и расходуется в количестве Q2.
Равновесие системы характеризуется равенством притока и расхода, т.е. Q1 = Q2 или Q1 - Q2 = 0, а также отсутствием отклонения уровня от заданного значения, т.е. Δh =0.
За время Δ t количество жидкости в баке изменится на величину Δ V = S ∙ Δh.
С другой стороны равновесие объекта будет определяться выражением Q1 ∙ Δt = Q2 ∙ Δt или (Q1 - Q2 ) ∙ Δt = 0
1. Дифференциальные уравнения.

На основе этого можно составить уравнение материального баланса для данной системы:
S ∙ Δh = (Q1 - Q2 ) ∙ Δt .
Разделим на Δt
При Δt → 0:
Приток Q1 от уровня не зависит, а расход Q2 зависит, причем
где α - коэффициент расхода.
1. Дифференциальные уравнения.

При малых отклонениях Δh можно нелинейную зависимость заменить линейной, т.е. Q2 (t) ≈ α ∙ h (t), тогда
Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка (апериодическое звено 1-го порядка)
1. Дифференциальные уравнения.

Если при составлении уравнений системы принимаются во внимание все факторы, влияющие на динамику процесса управления, то уравнения получаются сложными, и в большинстве случаев нелинейными. Поэтому для аналитического решения задач в общем виде иногда приходится заменять нелинейные уравнения приближенными линейными. Такая операция называется линеаризацией.
Основой линеаризации уравнений является выдвинутое И.А. Вышнеградским предположение, что в течение всего процесса регулирования имеют место лишь незначительные отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений (метод малых отклонений). Вводя в нелинейные уравнения процесса управления не абсолютные значения переменных (х), а их отклонения (Δх), удается перейти к линейным уравнениям в приращениях. Тогда в общем случае диф. уравнение системы выглядит следующим образом:
(2)
1. Дифференциальные уравнения.

2. Передаточные функции.
Линейные дифференциальные уравнения САУ решаются различными методами, но для решения задач в ТАУ наиболее удобным является операционный метод решения, основанный на функциональном преобразовании Лапласа:
или - интеграл Лапласа
где Y(p), Y(s) – изображение функции у(t);
у(t) – оригинал функции Y(p), Y(s).

Существует прямое и обратное преобразование Лапласа:
прямое – операция перехода от исходной функции у(t) к ее изображению Y(p);
обратное – переход от изображения Y(p) к оригиналу у(t).
Символ «р» или «s» означает операцию дифференцирования:
p = s = - алгебраизированный оператор Лапласа.
Если умножаем y(t) на p, то это будет означать ее дифференцирование, если делим y(t) на p – интегрирование, с учетом преобразования Лапласа:
2. Передаточные функции.

С учетом этого уравнение (1) может быть переписано иначе
(3)
Аналогично могут быть записаны дифференциальные уравнения более высокого порядка, имеющие производные в правой части. Тогда для системы:
(4)
Такая форма записи уравнений носит название операторной и обычно используется при составлении уравнений систем или звеньев.
2. Передаточные функции.

Вынеся за скобки Y(р) слева и Х(р) справа и разделив Y(р) на Х(р) получим:
(5)
Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины называется передаточной функцией (оператором) звена (группы звеньев, системы).
Для выражения (3):
(6)
2. Передаточные функции.

3. Временные характеристики.
Временной характеристикой называется зависимость изменения выходной величины от входной во времени
y(t) = f [x(t)]
Одной из наиболее часто применяемых форм описания динамических свойств элементов САУ является кривая (характеристика) разгона.
Кривой разгона называют зависимость изменения выходной величины во времени y(t) при нанесении на вход исследуемого объекта однократного воздействия ступенчатой формы x0(t) = A или y(t) = f [x(t)] при x(t) = A. При построении кривой разгона по горизонтальной оси откладывается время, а по вертикальной оси – выходная величина.
Временные характеристики будут подробнее рассмотрены при изучении динамических характеристик.

4. Частотные характеристики.
Определяются путем приложения к входу звена возмущающего воздействия синусоидальной формы, например, перемещением регулирующего органа исследуемого объекта по закону:
x(t) = Хm sin ω t,
где Хm - амплитуда колебаний входного сигнала;
ω = 2π/Т – его угловая частота, имеющая размерность [рад/с] или [рад/мин].
Т – период колебаний, [с] или [мин].

При установившихся колебаниях x, если звено или объект являются линейными, сигнал на его выходе также изменяется по синусоидальному закону с той же частотой ω, но с другой амплитудой и фазой:
y(t) = Ym sin (ωt + ϕ),
минус пишется, если входные колебания опережают выходные.
где ϕ - сдвиг по фазе.
Ym - амплитуда выходных колебаний.
Гармонические колебания можно представить, используя комплексные числа, тогда:
1) в показательной форме
и ,
где ,
cos ωt – вещественная часть;
sin ωt – мнимая часть.
На комплексной плоскости это можно представить следующим образом:
4. Частотные характеристики.

2. Формы математического описания.
2) в тригонометрической форме:
3) в алгебраической форме: и
Вернемся к понятию передаточной функции, только произведем замену р=jω, тогда
- комплексная
частотная характеристика (комплексный коэффициент усиления)

Используя показательную форму, получим:
- амплитудно-фазо-
частотная характеристика (АФЧХ),
где
- амплитудно-
частотная характеристика (АЧХ)
АЧХ - зависимость отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного от частоты колебаний входного гармонического сигнала;
-фазо-частотная характеристика
(ФЧХ)
ФЧХ - зависимость сдвига фаз между выходным и входным сигналами от частоты колебаний гармонического сигнала.
4. Частотные характеристики.

Значение частотной функции можно представить в виде вектора на комплексной плоскости. При этом каждой частоте будет соответствовать определенное значение амплитуды и фазы. При непрерывном изменении частоты конец вектора описывает на комплексной плоскости некоторую кривую, называемую годографом.
Годограф – это геометрическое место точек конца вектора комплексного коэффициента усиления на комплексной плоскости при изменении частоты ω от 0 до ∞.
Значения частот откладываются непосредственно на годографе, который является АФЧХ. Для определения модуля А(ω) = ⏐К(jω)⏐ и фазы ϕ комплексного коэффициента усиления на заданной частоте следует соответствующую точку годографа соединить прямой с началом координат. Длина полученного отрезка соответствует в определенном масштабе модулю, а фаза определяется углом, образованным этой прямой и положительной полуосью действительных величин.
4. Частотные характеристики.

Вопросы для самопроверки:
1) Назовите формы математического описания.
2) Что такое линеаризация?
3) В чем смысл оператора Лапласа?
4) Напишите операторную форму математического описания САУ
5) Что называется передаточной функцией?
6) Перечислите виды частотных характеристик.
7) Что такое годограф?

Проверим себя ?
1. Операция замены нелинейных уравнений системы приближенными линейными уравнениями называется …
А) линеаризацией;
B) минимизацией;
C) аппроксимацией;
D) систематизацией;
E) преобразованием Лапласа.
2. Преобразование Лапласа осуществляется следующим образом:
А) ; D) ;
B) dt= p; E) x(t)=p.
C) ;