Об учебниках по геометрии и теоремах в них. Признаки параллельных и скрещивающихся прямых, параллельности прямой и плоскости

Об учебниках по геометрии и теоремах в них
Признаки параллельных и скрещивающихся прямых,
параллельности прямой и плоскости

Теоремы существования и единственности
Задача

Параллельные прямые

Разбиваем
APMQNC
на три треугольных пирамиды
CAPM, PCQN и PCMN.
На рёбрах АВ и ВС треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N,
так что AM : MB = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q середины рёбер DA и DC
соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость
PQM разбивает пирамиду.
14
Задание 14
а
б

Признак параллельности плоскостей и свойства параллельных плоскостей
(что должен знать эксперт)

Теорема о трех перпендикулярах

Демовариант. Решение задания 14
14

Перпендикулярность прямой и плоскости

ЕГЭ 2017 (основной экзамен)
9
15
13
14

Решение задания 14
14
ЕГЭ 2015

Решение задания 14
14

Перпендикулярность двух плоскостей

ЕГЭ 2017 (основной экзамен)
14

ЕГЭ 2017 (основной экзамен)
Из точки Р опускаем перпендикуляры на АВ и DC.
Они являются перпендикулярами к плоскости, опущенными
из одной точки. Следовательно, должны совпадать, то есть
совпадать с PK.

Расстояние между скрещивающимися прямыми
1. Метод построения общего перпендикуляра.
2. Метод параллельных прямой и плоскости.
3. Метод параллельных плоскостей.
4. Метод ортогонального проектирования.

5. Метод, основанный на применении формулы объема тетраэдра, в котором известны длины двух скрещивающихся
ребер, угол и расстояние между ними.
Прокофьев А.А., Бардушкин В.В. О различных подходах к вычислению расстоя-ния между скрещивающимися прямыми. // «Математика в школе»,− М.: «Школь-ная пресса», – 2015. − № 5. − С. 18-32.
Задача. В кубе, длина ребра которого равна, найти расстояние между ребром и диагональю не пересекающей его грани.

Построения сечений, достаточность обоснования и строгость оценивания экспертами
Прокофьев А.А., Бардушкин В.В. О различных подходах к вычислению площадей сечений. // «Математика в школе», − М.: «Школьная пресса», – 2014. – № 10. − С. 7-15, 2015. − № 1. − С. 13-21.
Метод
следов
Метод следов +
использование
свойств
параллельных
плоскостей

Пример задания 14
14
ЕГЭ 2015

Решение задания 14
14
ЕГЭ 2015

Решение задания 14
14 б
Построение сечения в этой задаче не является необходимым элементом решение задачи.

Решение задания 14
14
ЕГЭ 2013

Решение задания 14
14

Процент решаемости 2,87%
ЕГЭ 2016
Выносной чертеж
14
Проблема пункта а). Плохое владение теорией (признаки перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах и т. д.).

ЕГЭ 2016 (досрочный)
14

ЕГЭ 2016 (досрочный)
14
Пункт а) можно решить с использованием координатного методам.
Многие участники экзамена считали,
что квадрат MNKL – сечение!

Применение теоремы о площади ортогональной проекции
Бардушкин В.В., Белов А.И., Ланцева И.А., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Применение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника при решении стереометрических задач // «Математика для школьников», − М.: «Школьная пресса», – 2010, № 3, С. 26-34, № 4, С. 13-21.

Координатный метод

Бардушкин В.В., Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения задач по теме «Двугранный угол. Угол между плоскостями». // «Математика для школьников», − М.: «Школьная пресса», − 2011. − №1. – С. 10-16.
Координатный метод

О применении формул аналитической геометрии