5_vektory

1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Опр. Вектор (в пространстве, на плоскости, на прямой) – это направленный отрезок, т.е. отрезок AB, у которого одна из ограничивающих его точек A принимается за начало, а вторая B – за конец.
A
B
A
B

Опр. Ненулевые векторы называются равными: , если:
они лежат на одной прямой или на параллельных прямых;
имеют одинаковые длины ( ) и одинаково направлены.
A
B
C
D
Все нулевые векторы считаются равными друг другу.

Операции над векторами

Сложение векторов
Пусть - два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и приложим вектор к этой точке, получим .
Затем отложим от точки А вектор , получим . Вектор называется суммой векторов .
Правило параллелограмма
Правило треугольника

2. Разность векторов
Опр. Разность векторов обозначается и определяется как сумма вектора и противоположного вектора .

3. Умножение вектора на число
Опр. Произведение вектора на число λ называется вектор, длина которого равна числу и который имеет направление вектора , если λ > 0, и противоположное направление ( ), если λ < 0.
Обозначается: .
Если λ = 0 или , то .

Опр. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. В противном случае, они называются неколлинеарными.
Коллинеарные векторы
Неколлинеарные векторы
Нулевой вектор коллинеарен всякому вектору и каждый вектор коллинеарен самому себе.

Опр. Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях. В противном случае, они называются некомпланарными.
Если хоть один из векторов нулевой вектор, то эти векторы компланарны.
Компланарные векторы
Некомпланарные векторы

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

О – произвольная точка
единичные взаимно-перпендикулярные векторы плоскости (пространства) – орты
Oxy – прямоугольная система координат на плоскости
Oxyz – декартовая система координат в пространстве
x – абсцисса
y – ордината
z – аппликата
y
x
O
y
x
O
z

Вектор заданный на плоскости Oxy, может быть представлен в виде:
где x1, y1 – проекции вектора на соответствующие оси координат называются прямоугольными координатами вектора.
y
x
O
A(x1, y1)
y1
x1

Если даны координаты его начальной и конечной точек.

Условие коллинеарности двух векторов
Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. когда справедливо равенство

Длина вектора в декартовых координатах:
Длина вектора в прямоугольных координатах :

Линейные операции над векторами в координатной форме

Пример

СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Опр. Скалярным произведением двух векторов называется число, обозначаемое и равное

.
Пример

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку (левую тройку) или положительно ориентированы (отрицательно ориентированы), если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Правая тройка
Левая тройка

Векторное произведение векторов
Опр. Векторным произведением двух векторов называется такой третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) вектор ортогонален
2)
3) векторы образуют правую тройку.

Обозначения:

Геометрический смысл

6. Теорема (запись векторного произведения в координатах)
Если

Пример

Смешанное произведение векторов
Опр. Смешанным произведением трех векторов называется число, обозначаемое и определяемое следующим образом

Геометрический смысл

7. Теорема (запись смешанного произведения в координатах)
Если