Обработка данных. Задачи локального и глобального интерполирования

14.10.2018
Интерполяционная задача
Задача локального интерполирования. Пример
Пусть известны значения функции y = f (x) в 5 узлах (т.е. дана интерполяционная задача с 5 узлами):
Требуется найти полиномы 1-й и 2-й степени, удовлетворяющие условию интерполирования в окрестности точки x*=2.3:

14.10.2018
Интерполяционная задача
Постановка задачи. Условие интерполирования
Пусть дана интерполяционная задача с n узлами:
Найти полином степени не выше чем (n-1), удовлетворяющий условию интерполирования:

14.10.2018
Интерполяционная задача
Матричный вид условия интерполирования:
Условие интерполирования
определитель Вандермонда

14.10.2018
Интерполяционная задача
Пример решения задачи локального интерполирования
в окрестности точки x*=2,3

Пример 1
Построить интерполяционный полином по таблице
14.10.2018
Квадратичные формы

Пример 2
Построить интерполяционный полином по таблице
14.10.2018
Квадратичные формы

Замечание о применимости подхода
14.10.2018
Квадратичные формы

Полином Лагранжа
14.10.2018
Квадратичные формы
В частности,

Пример 1а
Построить полином Лагранжа по таблице
14.10.2018
Квадратичные формы

Пример 2а
Построить полином Лагранжа по таблице
14.10.2018
Квадратичные формы

Пример 3
Построить полином Лагранжа по таблице
14.10.2018
Квадратичные формы

Пример 4
Построить полином Лагранжа по таблице
14.10.2018
Квадратичные формы

Интерполяционный кубический сплайн (ИКС)
Определение
Пусть {xi } - интерполяционная сетка на отрезке [a,b] и (xi,yi) - точки данных. Интерполяционным кубическим сплайном называется функция S(x) , обладающая следующими свойствами:
1. Функция S(x) непрерывна на отрезке [a,b] вместе cо своими производными S’(x) и S’’(x);
2. На каждом частичном отрезке [xk-1, xk] S(x) совпадает с некоторым алгебраическим многочленом третьей степени
P3,k(x)=a0+a1(x-xk-1)+a2(x-xk-1)2+a3(x-xk-1)3
3. S(x) удовлетворяет условию интерполирования
S(xi ) = yi , i=1, 2,…,n
14.10.2018
Интерполирование сплайнами

Две формы записи ИКС
14.10.2018
Интерполирование сплайнами

Идея алгоритма построения ИКС
14.10.2018
Интерполирование сплайнами

Идея алгоритма построения ИКС
14.10.2018
Интерполирование сплайнами
k=1,2,…,N-1

Граничные условия «естественный сплайн»
14.10.2018
Интерполирование сплайнами

Граничные условия «отсутствие узла»
14.10.2018
Интерполирование сплайнами

Пример 5. Построение ИКС
Интерполирование сплайнами
14.10.2018
Построить «естественный» сплайн.

Пример 6. Построение ИКС
Интерполирование сплайнами
14.10.2018
Построить сплайн с условием «отсутствие узла».

14.10.2018
Квадратичные формы
Сплайн-технологии экономического анализа.
Сплайн-сглаживание