Операции над множествами. Получения новых множеств из уже существующих

Объединением множеств A и B называется множество A∪B, все элементы которого являются элементами множества A или B:
A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B}.
Пересечением множеств A и B называется множество A∩B, элементы которого являются элементами обоих множеств A и B:
A∩B = { x | x∈A & x∈B}.
Выполняются включения A∩B ⊆ A ⊆ A∪B
и A∩B ⊆ B ⊆A∪B.
Говорят, что два множества не пересекаются, если их пересечение – пустое множество.

Относительным дополнением множества A до множества X называется множество X\A всех тех элементов множества X, которые не принадлежат множеству A:
X\A = {x | x∈X & x∉A}. (также называют разностью множеств X и A)
Симметрической разностью множеств A и B называется множество A÷B = (A\B) ∪ (B\A).
Когда фиксирован универсум U абсолютным дополнением множества A называется множество всех тех элементов x, которые не принадлежат множеству A:
A = { x | x∈U & x∉ A}.
Заметим, что A = U\A. Часто вместо A будем писать ¬A или A’ или А.

Диаграммы Эйлера
Первым стал использовать теперь общепринятые обозначения операций над множествами Джузеппе Пеано (1888 г.).

Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсума используются диаграммы Эйлера. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества.
Часто все множества на диаграмме размещают внутри квадрата, который представляет собой универсум U.
Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то на диаграмме области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях.

¬A A∩B A∪B
А
А
В
Это — диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера (продолжение)
Здесь не имеет значения относительный размер кругов либо других замкнутых областей, но лишь их взаимное расположение.
A\B B\A A÷B

Такие диаграммы могут играть в логике лишь ту роль, что чертежи в геометрии: они иллюстрируют, помогают представить и доказать, но сами ничего не доказывают.
Объединение, пересечение и дополнение обычно называются булевскими операциями;
Выражения, составленные из множеств и булевских операций называются – булевыми выражениями;
Значение такого булева выражения называют– булевой комбинацией входящих в него множеств;
Равенство двух булевых выражений – булевыми тождествами.

Булевы тождества

Джордж Буль
Джордж Буль (англ.George Boole; 2 ноября 1815, Линкольн — 8 декабря 1864, Баллинтемпл, графство Корк, Ирландия) — английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк) с 1849. Один из основоположников математической логики.
Разработал алгебру логики (булеву алгебру).

Теорема 4. Для любых подмножеств A, B и C универсума U выполняются следующие основные булевы тождества:

Булевы тождества (продолжение)
Теорема 4 (продолжение).
10 A\B = A ∩¬B

Булевы выражения

Булевы выражения
1. (A∪B∪C)\(C∩B) = (C÷B)U(A\(A∩B∩C))

Два способа
доказательства тождеств
С применением преобразований, основанных на законах булевой алгебры (равносильности булевой алгебры)
С применением понятий: множества, элемент множества, включение принадлежность ∈
∩
,

ДОКАЗАТЬ ТОЖДЕСТВА

Доказатьтождество A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) .
Решение.
Сначала покажем, что A∪(B∩C) ⊆ (A∪B)∩(A∪C).
Действительно, если x∈A∪(B∩C), то x∈A или x∈B∩C.
Если x∈A, то x∈A∪B и x∈A∪C. Следовательно, x∈(A∪B)∩(A∪C).
Если x∈B∩C, то x∈B и x∈C.
Отсюда x∈A∪B и x∈A∪C, а значит, x∈(A∪B)∩(A∪C).
Пример 1.

Доказать тождества (самостоятельно)
I. С помощью диаграмм Эйлера
II. С помощью Булевых тождеств

Следующее утверждение докажите или опровергните (опровергнуть можно на частном примере с помощью диаграммы Эйлера:
1. (A\B)∪C = (A∪C)\(B∪C).
2. Найдите множество X, удовлетворяющее условию
A∩X = ∅ и A∪X = U.
Проверить тождество A∪B = (A÷B) ÷ (A∩B).
Проверить, что A⊆B ⇒ A∩C⊆B∩C.