Строительство бакалавриата. Приложения производной

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.1 Теоремы о дифференцируемых функциях
6.2 Исследование функции и построение её графика
6.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

6. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
6.2 Исследование функции и построение её графика
6.2.1 Возрастание и убывание функции
6.2.2 Экстремум функции
6.2.3 Выпуклость и вогнутость графика функции
6.2.4 Точки перегиба
6.2.5 Асимптоты графика функции
6.2.6 План исследования функции и построение её графика

6.2.1 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
то функция называется возрастающей.
Если
Пусть функция y = f(x) определена на множестве D(f) и пусть D1 ⊂ D(f).
Если
то функция называется убывающей.
Если
то функция называется неубывающей.
Если
то функция называется невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными на множестве D1, интервал, на котором функция монотонна называется интервалом монотонности.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Вспомним определения из 1 семестра

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [a; b].
Тогда:
f(x) – возрастающая
f(x) – убывающая
f(x) – неубывающая
f(x) – невозрастающая
6.2.1 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Теорема.
Примеры.
(необходимые условия монотонности)
– возрастающая
– возрастающая

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на отрезке [a; b].
Тогда:
f(x) – возрастающая,
f(x) – убывающая,
f(x) – неубывающая,
f(x) – невозрастающая.
6.2.1 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Теорема.
Точки, в которых функция y = f(x) имеет производную, равную 0, или производная не существует, называются критическими точками 1-го рода.
(достаточные условия монотонности)

а) если то это интервал возрастания,
б) если то это интервал убывания.
1) Найти область определения функции y = f(x).
2) Найти производную функции.
3) Найти критические точки 1-го рода, они разбивают область определения функции на интервалы монотонности.
4) Начертить ось Ох и отметить на ней область определения и интервалы монотонности.
5) Найти знак производной функции на каждом интервале монотонности и сделать выводы, используя достаточные условия монотонности:
6.2.1 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Исследование функции на возрастание и убывание
6) Выписать интервалы возрастания и убывания функции.

6.2.1 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Пример
Исследовать функцию на возрастание и убывание

6.2.1 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Пример
Функция возрастает при
Функция убывает при

6.2.1 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Сравните полученные результаты с графиком функции

Точка называется точкой локального максимума функции y = f(x),
если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки из этой окрестности выполняется неравенство:
6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
или
Точка называется точкой локального максимума функции y = f(x),
если
Значение функции в точке локального максимума называется локальным максимумом функции.

Точка называется точкой локального минимума функции y = f(x),
если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки из этой окрестности выполняется неравенство:
6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
или
Точка называется точкой локального минимума функции y = f(x),
если
Значение функции в точке локального минимума называется локальным минимумом функции.

6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Точки экстремума:

Значение функции в точке локального максимума называется локальным максимумом функции.
6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Значение функции в точке локального минимума называется локальным минимумом функции.
Понятие «экстремум» является обобщающим, это или локальный максимум, или локальный минимум.
Замечания.
1) Слово «локальный» можно опускать, не забывая, что речь идёт о достаточно малой окрестности точки.
2) Функция может иметь экстремум только во внутренних точках области определения.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке и имеет в ней экстремум, то производная функции в этой точке равна 0, то есть
6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Теорема.
(необходимое условие существования экстремума)
Замечания.
1) Обратная теорема не верна.
2) Есть функции, которые имеют экстремум в некоторой точке, но не имеют в ней производную.
3) Точками возможного экстремума являются только критические точки 1-го рода.

6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
2) Есть функции, которые имеют экстремум в некоторой точке, но не имеют в ней производную.
В точке х = 3 значение функции существует и равно 0, а производная не существует.

Пусть функция y = f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки хₒ
и дифференцируема в ней, за исключением, быть может, самой точки хₒ.
Если производная функции меняет знак при переходе через точку хₒ
то хₒ – точка локального экстремума, причём:
6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Теорема.
(1 достаточное условие существования экстремума)
а) если с «+» на «-», то это точка максимума,
б) если с «-» на «+», то это точка минимума.

Пусть функция y = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки хₒ,
пусть f′ (xₒ) = 0 , а f″ (xₒ) ≠ 0 .
Тогда хₒ – точка локального экстремума, причём:
6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Теорема.
(2 достаточное условие существования экстремума)
а) если f″ (xₒ) < 0 , то это точка максимума,
б) если f″ (xₒ) > 0 , то это точка минимума.

6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Пример
Исследовать функцию на экстремум
I способ:

6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Пример
II способ:
– точка минимума.
– минимум функции.
– точка минимума.
– минимум функции.

6.2.2 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
Сравните полученные результаты с графиком функции

6.2.3 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a; b).
Тогда:
1) Если график функции на интервале (a; b) расположен ниже касательной, проведённой через любую точку графика с абсциссой х∈(a; b), то он называется выпуклым.
2) Если график функции на интервале (a; b) расположен выше касательной, проведённой через любую точку графика с абсциссой х∈(a; b), то он называется вогнутым.

Пусть функция y = f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b).
Тогда для любой точки из этого интервала:
6.2.3 ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Теорема.
(необходимое и достаточное условие выпуклости и вогнутости)
график функции является выпуклым,
график функции является вогнутым.

Пусть функция y = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в точке xₒ.
Пусть точка М(xₒ; f(xₒ)) есть точка перегиба графика функции.
Тогда f″ (xₒ) = 0.
6.2.4 ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Теорема.
(необходимое условие существования точки перегиба)
Точка М(xₒ; f(xₒ)) графика функции y = f(x) называется точкой перегиба, если она разделяет выпуклую и вогнутую части этого графика.
Точки, в которых функция y = f(x) имеет производную второго порядка, равную 0, или эта производная не существует, называются критическими точками 2-го рода.
Замечание:
xₒ – только точка непрерывности.

Пусть функция y = f(x) непрерывна в некоторой окрестности критической точки 2-го рода хₒ
и дважды дифференцируема в ней, за исключением, быть может, самой точки хₒ.
Если производная второго порядка функции меняет знак при переходе через точку хₒ, то точка М(xₒ; f(xₒ)) есть точка перегиба графика функции.
6.2.4 ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Теорема.
(достаточное условие существования точки перегиба)
Замечания.
1) График функции может иметь точку перегиба М(xₒ; f(xₒ)) , но f″ (xₒ) может не существовать.
2) Производная второго порядка в точке xₒ может быть равна 0, но точка М(xₒ; f(xₒ)) не будет являться точкой перегиба, поэтому обратная теорема не верна.
3) Возможными абсциссами точек перегиба являются только критические точки 2-го рода.

1) Найти область определения функции y = f(x).
2) Найти производную второго порядка функции.
3) Найти критические точки 2-го рода, они разбивают область определения функции на интервалы.
4) Начертить ось Ох и отметить на ней область определения и эти интервалы.
5) Найти знак производной второго порядка функции на каждом интервале и сделать выводы о выпуклости и вогнутости графика на них.
6) Выписать интервалы, где график является выпуклым или вогнутым.
7) Найти и выписать точки перегиба графика функции.
6.2.4 ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Исследование функции на выпуклость и вогнутость
Нахождение точек перегиба

6.2.4 ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Пример
Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость, найти точки перегиба
График выпуклый на интервале
График вогнутый на интервале
– точка перегиба.

6.2.4 ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ
М(-1;4)
Сравните полученные результаты с графиком функции

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
x = a
вертикальная
асимптота
Прямая линия L: Ax + By + C = 0 называется асимптотой графика функции y= f(x) , если расстояние d от точки М(x; f(x)) графика до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки М от начала координат.
y = kx+b
наклонная
асимптота
y = b
горизонтальная
асимптота
b

Прямая L: x = a является вертикальной асимптотой графика функции
y = f(x) тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из соотношений:
6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Теорема.
(необходимое и достаточное условие
существования вертикальной асимптоты)
Замечание.
Точки разрыва 2-го рода функции y = f(x) показывают, где могут находиться вертикальные асимптоты.

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Пример
Найти вертикальные асимптоты графика функции
Найдём область определения:
Исследуем функцию на границах области определения и в точке разрыва:

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Пример
Значит, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.
Получили:
х = -1 – правосторонняя вертикальная асимптота,
х = 0 – двусторонняя вертикальная асимптота,
х = 1 – левосторонняя вертикальная асимптота.

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Сравните полученные результаты с графиком функции

Прямая L: y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции
y = f(x) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Теорема.
(необходимое и достаточное условие
существования наклонной асимптоты)
Замечания.
1) Если хотя бы один из пределов теоремы не существует или равен ∞, то наклонной асимптоты нет.
2) Если k = 0, а b – любое число, то получаем горизонтальную асимптоту L: y = b.
3) Иногда полезно рассматривать пределы отдельно на + ∞ и на - ∞.
Пример.
Найти асимптоты графика функции

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Примеры
Найти асимптоты графика функции:
вертикальных асимптот нет.
Найдём наклонные асимптоты (сначала слева, потом справа) y = kx+b :
Получили:
у = 0 – левосторонняя горизонтальная асимптота,
справа асимптоты нет.

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Сравните полученные результаты с графиком функции

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Примеры
Найти асимптоты графика функции:
вертикальных асимптот нет.
Найдём наклонные асимптоты (для рациональной дроби только двусторонние) y = kx+b :
Получили:
у = х – двусторонняя наклонная асимптота.

6.2.5 АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Сравните полученные результаты с графиком функции

1) Найти область определения функции y = f(x).
2) Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и односторонние пределы в этих точках.
3) Найти асимптоты графика функции, выяснить поведение функции на границе области определения.
4) Исследовать функцию на чётность-нечётность, периодичность.
5) Найти производную 1-го порядка, исследовать функцию на экстремум, выписать интервалы возрастания и убывания функции.
6) Найти производную 2-го порядка, найти точки перегиба графика функции, выписать интервалы, где график является выпуклым или вогнутым.
7) Провести дополнительные исследования (при необходимости).
8) Все полученные данные записать в таблицу.
9) Сделать чертёж графика функции y = f(x).
6.2.6 ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЁ ГРАФИКА
Пример (разберём на практике)
Провести полное исследование функции
и построить её график.