Основы алгебры логики

ЛОГИКА — это наука о формах и законах человеческого мышления и, в частности, о законах доказательных рассуждений.
Алгебра логики (другое название - Булева алгебра) - это область математики. Она оперирует высказываниями, которые могут принимать два значения (булевых значения).

ВЫСКАЗЫВАНИЕ - это повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно или истинно или ложно.
Например:
Земля - планета Солнечной системы.
2+8<5
5 · 5=25
Всякий квадрат есть параллелограмм
Каждый параллелограмм есть квадрат
2 · 2 =5
(Истинно)
(Ложно)
(Истинно)
(Истинно)
(Ложно)
(Ложно)

Не всякое предложение является высказыванием:
1) Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
- “Какого цвета этот дом?”
- “Пейте томатный сок!”
- “Стоп!”
Не являются высказываниями и определения.

Высказывания могут быть простыми и сложными.
Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание
Например:
На улице идет дождь.
На улице светит солнце.
На улице пасмурная погода.

Высказывание, которое можно разложить на части, называется сложным
Сложное высказывание получается путем объединения простых высказываний логическими связками — НЕ, И, ИЛИ.
Значение истинности сложных высказываний зависит от истинности входящих в них простых высказываний и объединяющих их связок.
Например, даны простые высказывания:
На улице идет дождь.
На улице светит солнце.
На улице пасмурная погода.
Составим из них сложные высказывания:
На улице идет дождь и на улице светит солнце.
На улице светит солнце или на улице пасмурная погода.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1.
Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0.
Простые высказывания назвали логическими переменными и для простоты записи их обозначают латинскими буквами: А, В, С…
Луна является спутником Земли. А = 1
Москва – столица Германии. В = 0
Сложные высказывания называются логическими функциями. Значения логической функции также может принимать значения только 0 или 1.

Таблицы истинности
Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
Например для одного высказывания таблица истинности выглядит так:

Основные логические операции

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ
«Сегодня светит солнце и идет дождь»
А – «Сегодня светит солнце»
В – «Сегодня идет дождь»
Логическое умножение (конъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «и».

ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ (КОНЪЮНКЦИЯ)
Обозначение: &, ^, *.
Союз в естественном языке: и.
А ^ B – «Сегодня светит солнце и идет дождь»
Таблица истинности
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно из высказываний ложно.

Кран А
Кран В
КОГДА ИЗ ТРУБЫ ПОЛЬЕТСЯ ВОДА?
Открыт кран А
Открыт кран В
ИЛИ

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ
«На стоянке находится «Мерседес» или «Жигули»
А – На стоянке находится «Мерседес»
В – На стоянке находится «Жигули»
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух (или более) высказываний в одно с помощью союза «или».

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ (ДИЗЪЮНКЦИЯ)
Обозначение: +, V.
Союз в естественном языке: или.
А V B – На стоянке находится «Мерседес» или «Жигули»
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно из высказываний истинно.
Таблица истинности

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ
А – «Сегодня светит солнце»
В – «Сегодня не светит солнце»
Логическое отрицание (инверсия) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…».
А – «У данного компьютера жидкокристаллический монитор»
В – «Неверно, что у данного компьютера жидкокристаллический монитор»

ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ (ИНВЕРСИЯ)
Обозначение: ¬.
Союз в естественном языке: не; неверно, что…
А – «Сегодня светит солнце»
¬ А – «Неверно, что сегодня светит солнце» или «Сегодня не светит солнце»
Инверсия высказывания истинна, если высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.
Таблица истинности