Признаки существования предела

Возможны два случая:
Последовательность не убывает и ограничена сверху:
1
Последовательность не возрастает и ограничена снизу:
2

Теорема 2.
Если в некоторой окрестности точки
х0 (или при достаточно больших
значениях х) функция f(x) заключена
между двумя функциями φ(х) и ψ(х),
имеющими одинаковый предел,
равный А, то функция f(x) имеет
тот же предел А.

Доказательство:
Пусть при
существуют пределы
Следовательно, для любого, сколь угодно малого числа ε>0, найдется такое положительное число δ, что при всех х, таких что |x-x0|<δ, одновременно выполняются неравенства: